Geometrian , poligono bat erregularra da, aldeberdina (alde guztiak luzera berekoak dira) eta angeluberdina (angelu guztiak neurri berekoak dira) bada.
Zirkunferentzia batean inskribatutako pentagono erregularra: C = zirkunferentzia zirkunskribatuaren zentroa V = poligonoaren erpin bat L = poligonoaren alde bat d = poligonoaren diagonal bat r = zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa a = poligonoaren apotema Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).
Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak triangelu aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, erregular terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).
Poligono erregularren elementuak Aldea (L ): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitzaErpina (V ): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntuaZentroa (C ): erpinetatik distantziakidea den puntuaErradioa (r ): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkiaApotema (a ): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkiaDiagonala (d ): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkiaPerimetroa (P ): alde guztien luzeren baturaPoligono erregularren propietateak Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira. Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira. Poligono erregularren angeluak α = angelu zentrala, β = barne-angelua, γ = kanpo-angelua Angelu zentrala Poligono erregular baten angelu zentralak ( α {\displaystyle \alpha \,} ) kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (n ) arabera: α = 360 ∘ n {\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;} (gradu hirurogeitarretan ) α = 2 π n {\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;} (radianetan )Barne-angelua Poligono erregular baten barne-angelua ( β {\displaystyle \beta \,} ) honela kalkula daiteke: β = 180 ∘ ⋅ ( n − 2 ) n {\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;} (gradu hirurogeitarretan) β = π ⋅ ( n − 2 ) n {\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;} (radianetan)Poligono erregular baten barne-angeluen batura ( ∑ β {\displaystyle \sum \beta \;} ), beraz: ∑ β = 180 ∘ ⋅ ( n − 2 ) {\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;} (gradu hirurogeitarretan) ∑ β = π ⋅ ( n − 2 ) {\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;} (radianetan)Kanpo-angelua Poligono erregular baten kanpo-angelua ( γ {\displaystyle \gamma \;} ) honela kalkula daiteke: γ = 360 ∘ n {\displaystyle \gamma ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;} (gradu hirurogeitarretan) γ = 2 π n {\displaystyle \gamma ={\frac {2\pi }{n}}\;} (radianetan)Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura ( ∑ γ {\displaystyle \sum \gamma \,} ), beraz: ∑ γ = 360 ∘ {\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;} (gradu hirurogeitarretan) ∑ γ = 2 π {\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;} (radianetan)Poligono erregular batzuk Oharra : Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.
Poligono erregularraren azalera Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:
Azalera: perimetroaren eta apotemaren arabera A = P ⋅ a 2 {\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}} Froga Poligonoaren aldea L triangeluaren oinarria da, eta a apotema triangeluaren garaiera; beraz, triangeluaren azalera, A h {\displaystyle A_{h}} , hau da: A h = L ⋅ a 2 {\displaystyle A_{h}={\frac {L\cdot a}{2}}\;} n aldeko poligonoak n triangelu ditu, eta guztizko azalera hau da: A = L ⋅ a 2 ⋅ n = L ⋅ n ⋅ a 2 {\displaystyle A={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;} L aldearen luzera bider n (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu: A = P ⋅ a 2 {\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}\;}
Azalera: alde kopuruaren eta apotemaren arabera A = a 2 ⋅ n ⋅ tan ( π n ) {\displaystyle A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\ } Froga A = L ⋅ n ⋅ a 2 {\displaystyle A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\ } eta δ = π n {\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ } kontuan hartuta, angelu zentralaren erdia baita (radianetan). L = 2 ⋅ a ⋅ tan ( π n ) {\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)} Aldea azalerarako formulan ordezkatuta: A = ( 2 ⋅ a ⋅ tan ( π n ) ) ⋅ n ⋅ a 2 {\displaystyle A={\frac {(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right))\cdot n\cdot a}{2}}\ } A = a 2 ⋅ n ⋅ tan ( π n ) {\displaystyle A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\ }
Azalera: alde kopuruaren eta erradioaren arabera A = n r 2 sin ( 2 π n ) 2 {\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;} Froga Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke: L = 2 r sin ( δ ) {\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;} a = r cos ( δ ) {\displaystyle a=r\cos({\delta })\;} non angelu zentrala hau den: α = 2 δ = 2 π n {\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;} Poligonoaren azalera hau denez: A = L ⋅ n ⋅ a 2 {\displaystyle A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;} eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu: A = 2 r sin ( δ ) ⋅ n ⋅ r cos ( δ ) 2 {\displaystyle A={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;} A = n r 2 ⋅ 2 sin ( δ ) cos ( δ ) 2 {\displaystyle A={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;} Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau: 2 sin ( δ ) cos ( δ ) = sin ( 2 δ ) {\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;} A = n r 2 sin ( α ) 2 {\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;} A = n r 2 sin ( 2 π n ) 2 {\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}
Azalera: aldearen arabera A = n ⋅ L 2 4 ⋅ tan ( π 2 ( n − 2 ) n ) {\displaystyle A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)} Froga Poligonoaren azalera hau denez: A = n ⋅ L ⋅ a 2 {\displaystyle A=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}\;} Erabil dezagun φ {\displaystyle \varphi } sinboloa "L " aldearen eta "r " erradioaren arteko angelua izendatzeko: φ = π − α 2 = π − 2 π n 2 = π 2 ( n − 2 ) n {\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}{\frac {(n-2)}{n}}\;} Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera): tan φ = a L 2 = 2 a L {\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}} Apotema askatuz gero, hau dugu: a = L ⋅ tan φ 2 {\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}} Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda: A = n ⋅ L ⋅ a 2 a = L ⋅ tan φ 2 φ = π 2 ( n − 2 ) n } ⟶ A = n ⋅ L 2 4 ⋅ tan ( π 2 ( n − 2 ) n ) {\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}
Laburpen-taula Pentagono erregular bat eraikitzen Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz[1] .
Alde, angelu eta erpin kopurua Poligonoa Irudia Barne-angelua Aldea[1] Azalera[1] Animazioa: eraikitze grafikoa erregela eta konpasa erabiliz 3 Triangelu aldeberdina 60° √3≅1,732 3/4·√3≅1,299 Eraikitze zehatza 4 Karratua 90° √2≅1,414 2 Eraikitze zehatza 5 Pentagonoa 108° ≅1,176 ≅2,378 Eraikitze zehatza 6 Hexagonoa 120° 1 3/2·√3≅2598 Eraikitze zehatza 7 Heptagonoa ≅128,57° ≅0,868 ≅2,736 Gutxi gorabeherako eraikitzea 8 Oktogonoa 135° ≅0,765 2·√2≅2,828 Eraikitze zehatza 9 Eneagonoa 140° ≅0,684 ≅2,893 Gutxi gorabeherako eraikitzea 10 Dekagonoa 144° ≅0,618 ≅2,939 Eraikitze zehatza 11 Endekagonoa ≅147,27° ≅0,563 ≅2,974 Gutxi gorabeherako eraikitzea 12 Dodekagonoa 150° ≅0,518 3 Eraikitze zehatza 13 Tridekagonoa ≅152,31° ≅0,479 ≅3,021 Gutxi gorabeherako eraikitzea 14 Tetradekagonoa ≅154,29° ≅0,445 ≅3,037 Gutxi gorabeherako eraikitzea 15 Pentadekagonoa 156° ≅0,416 ≅3,051 Eraikitze zehatza 16 Hexadekagonoa 157,5° ≅0,390 ≅3,061 Eraikitze zehatza 17 Heptadekagonoa ≅158,82° ≅0,367 ≅3,071 Eraikitze zehatza 34-gonoa , 51-gonoa 85-gonoa , 255-gonoa 18 Oktodekagonoa 160° ≅0,347 ≅3,078 Gutxi gorabeherako eraikitzea 19 Eneadekagonoa ≅161,05° ≅0,329 ≅3,085 Gutxi gorabeherako eraikitzea 20 Ikosagonoa 162° ≅0,313 ≅3,090 Eraikitze zehatza 257 257-gonoa ≅178,6° ≅0,024 ≅3,141 Eraikitze zehatza 65.537 65.537-gonoa ≅179,9945° ≅0,000096 ≅3,1416 Eraikitze partziala
Erreferentziak eta oharrak Kanpo estekak