Under 1700-talet undersökte Euler serien med reella värden på s:
Serien konvergerar när s > 1.Han upptäckte att serien ovan även kan uttryckas som en oändlig produkt över alla primtal.
Bernhard Riemann undersökte den i det komplexa talplanet och bevisade att funktionen konvergerar för hela komplexa talplanet då Re(s) > 1.[1] Sedan dess används beteckningen ζ(s) för Riemanns zetafunktion.
Definition
Man kan definiera Riemanns zeta-funktion ζ(s) på två sätt, med hjälp av en Dirichletserie samt som en Eulerprodukt.
Enligt Cauchys intergraltest är denna serie konvergent inom det intervallet. Enligt Weierstrass kriterium är funktionen ζ(s) holomorfisk för Re(s)= σ >1 och därmed absolutkonvergent.
I nästa steg utvecklar vi produkten av summan och vi får:
Nu kan vi med hjälp av aritmetikens fundamentalsats skriva om summorna: Eftersom varje primtalsuppdelning är unik, och alla tal kan skrivas som en produkt av primtal (och en oändlig mängd ettor), så kommer varje heltal att dyka upp en och endast en gång, och därmed kan vi skriva
En globalt konvergerande serie för zetafunktionen valid för alla komplexa tal s utom s = 1 + 2πin/log(2) för något heltal n förmodades av Konrad Knopp och bevisades av Helmut Hasse 1930:
Integralen konvergerar dock inte för något värde på s, men kan modifieras till följande uttryck för zetafunktionen:
Användning
Kopplingen mellan zetafunktionen och primtalen gör att zetafunktionen fortfarande är av intresse för matematiker. Riemannhypotesen som handlar om nollställen av zeta i sin tur som skulle kunna bestämma utbredning av alla primtal, en bättre approximation av de olika aritmetiska funktioner som t.ex. primtalfunktionen π(x).
Man kan hitta ett användningsområde av denna funktion även i statistik som ”Zipfs lag” och i matematiska teorier för stämning av musik. Inom fysik utnyttjas den i kaos i klassiska och kvantmekaniska system.
Apostol, T. M. (2010), ”Zeta and Related Functions”, i Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. m.fl., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, MR 2723248, ISBN 978-0521192255
Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). ”Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments”. J. Comp. App. Math. 142 (2): sid. 435–439. doi:10.1016/S0377-0427(02)00358-8.
Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). ”Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms”. Proc. Amer. Math. Soc. 125 (9): sid. 2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.
H. M. Edwards (1974). Riemann's Zeta Function. Academic Press. ISBN 0-486-41740-9 Innehåller en engelsk översättning av Riemannss artikel.
Hadamard, Jacques (1896). ”Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”. Bulletin de la Societé Mathématique de France 14: sid. 199–220.
G. H. Hardy (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford
Hasse, Helmut (1930). ”Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe”. Math. Z. 32: sid. 458–464. doi:10.1007/BF01194645. (Globalt konvergent serieutveckling.)
A. Ivic (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X
Y. Motohashi (1997). Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge University Press. ISBN 0521445205
A. A. Karatsuba; S.M. Voronin (1992). The Riemann Zeta-Function. W. de Gruyter, Berlin
Mező, István; Dil, Ayhan (2010). ”Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function”. Journal of Number Theory 130 (2): sid. 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005.
Donald J. Newman (1998). Analytic number theory. GTM. "177". Springer-Verlag. ISBN 0-387-98308-2 Chapter 6.
Raoh, Guo (1996). ”The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function”. Proceedings of the London Mathematical Society s3–72: sid. 1–27. doi:10.1112/plms/s3-72.1.1.
Sondow, Jonathan (1994). ”Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series”. Proc. Amer. Math. Soc. 120 (120): sid. 421–424. doi:10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7.
E.C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press
E.T. Whittaker och G.N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).
Zhao, Jianqiang (1999). ”Analytic continuation of multiple zeta functions”. Proc. Amer. Math. Soc. 128 (5): sid. 1275–1283. doi:10.1090/S0002-9939-99-05398-8.