ฟังก์ชันซีตาของรีมัน

ในปี ค.ศ. 1737 อ็อยเลอร์ค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันซีตาของรีมันและจำนวนเฉพาะ ซึ่งพิสูจน์เอกลักษณ์ดังกล่าว

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ is prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

การพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ ใช้เพียงสูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิต และ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิกเมื่อ s = 1 , เป็นอนุกรมลู่ออก

สูตรผลคูณของออยเลอร์สามารถใช้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มใดๆ หารด้วยจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเต็ม) p ลงตัว คือ 1/p ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ตัวเลขจำนวน s ตัวหารด้วยจำนวนเฉพาะนี้ลงตัวคือ 1/p^s และความน่าจะเป็นที่จะหารไม่ลงตัว คือ 1 − 1/p^s สำหรับจำนวนเฉพาะ ดังนั้นความน่าจะเป็นจะได้มาจากผลคูณของลำดับของจำนวนเฉพาะทั้งหมด นั่นคือ${\displaystyle \prod _{p{\text{is prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{is prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

• สมมติฐานของรีมัน