Ռիմանի զետա ֆունկցիա

Հակառակ այլ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների համար ընդունված նշանակմանը՝ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արգումենտը սովորաբար նշանակում են ${\displaystyle s=\sigma +it}$ , որտեղ ${\displaystyle \sigma }$ -ն և ${\displaystyle t}$ -ն ${\displaystyle s}$ -ի համապատասխանաբար իրական և կեղծ մասերն են։ 

Հետևյալ շարքը զուգամիտում է բոլոր s կոմպլեքս թվերի համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \qquad \sigma =\operatorname {Re} (s)>1:}$

Այդպիսի s-երի համար զետա ֆունկցիայի արժեքը սահմանվում է որպես շարքի գումարը։ Փոփոխականի նույն արժեքների համար զետա ֆունկցիայի համարժեք սահմանում կարելի է համարել հետևյալ ինտեգրալը.

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}\,x^{s}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},}$

որտեղ

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,x^{s}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

հայտնի գամմա ֆունկցիան է։

Պարզվում է այս ֆունկցիան կարելի է մերոմորֆ կերպով շարունակել ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Երբ ${\displaystyle s}$ -ը մոտենում է 1 կետին, զետա ֆունկցիայի արժեքը ձգտում է հարմոնիկ շարքի գումարին, այդպիսով՝ ${\displaystyle s=1}$ կետը հանդիսանում է այս ֆունկցիայի բևեռ։ Այն ֆունկցիայի միակ բևեռն է և այդ կետում 

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1:}$

Այսպիսով՝ զետա ֆունկցիան մերոմորֆ ֆունկցիա է ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Այն ունի միակ պարզ բևեռ՝ ${\displaystyle s=1}$ և այդ կետում մնացքը հավասար է 1-ի։