Spin

Spinaren existentziaren lehen froga esperimentala Otto Stern eta Walther Gerlachek 1922an egindako esperimentuarekin etorri zen, nahiz eta haren interpretazioa 1927ra arte ez iritsi. Esperimentuak Bohr-Sommerfelden hipotesia probatzea lortu zuen, alegia, zilarrezko atomo baten momentu angeluarraren norabidea kuantifikatuta dagoela.^[6]

1924an, Wolfgang Paulik bere elkarrezintasunaren printzipioa formulatu zuen. Bertan adierazi zuen sistema berean bi elektroik ezin dutela egoera kuantiko bera izan. Teorema honetatik ondoriozta daiteke elektroi-spinaren existentzia.

Nahiz Arthur Comptonek eta Ralph Kronigek lehenago iradoki elektroiek biraketa propioa zutela, ^[7][8] 1925an George Uhlenbeck eta Samuel Goudsmit fisikari holandarrek, Paul Ehrenfesten aholkularitzapean, lehenengo emaitza sendoak argitaratu zituzten. ^[9]

1927an Paulik formalizatu zuen spinaren teoria, Schrödingerrek eta Heisenbergek asmatutako mekanika kuantikoaren teoria modernoa erabiliz. Aurrekuntza nabariena spina propietate ez-klasiko eta intrintseko moduan hartzea izan zen.^[10]

1928an Paul Dirac-ek bere izena daraman ekuazioa argitaratu zuen, non elektroi erlatibista deskribatzen zen. 1940an, Paulik spin-estatistika teorema frogatu zuen, alegia, fermioiek erdi-osoko spina eta bosoiek osoko spina dutela aitortzen duena eta, bide batez, spinaren existentzia

Definizioa eta propietateak

Spinaren zenbaki kuantikoak, ${\displaystyle s}$ -k, momentu angeluarraren ${\displaystyle {\textbf {S}}}$ kuantizazioa jarraitzen du. Haren propietateak hurrengoak dira:

• Spinaren zenbaki kuantikoaren balioak osoak edo erdiosoak izan daitezke.
• Spinaren noranzkoa alda daitekeen arren, oinarrizko partikula baten spinaren magnitudea ezin da aldatu.
• Partikula kargatu baten spina momentu dipolar magnetikoarekin lotuta dago g-faktore baten bidez.^[11]

Spinaren zenbaki kuantikoaren definizio konbentzionala ${\displaystyle s={\frac {n}{2}}}$ da, non ${\displaystyle n}$ edozein zenbaki natural izan daitekeen. Horregatik, ${\displaystyle s}$ -ren baimendutako balioak ${\textstyle 0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},2}$ eta abar dira. Oinarrizko partikula baten ${\displaystyle s}$ balioa partikula motaren araberakoa da. Edozein sistemaren momentu angeluar intrintsekoa kuantizatuta dago eta horren balioa hurrengoa da:

$${\displaystyle {\textbf {S}}=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}=\hbar {\sqrt {\frac {n(n+2)}{4}}}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {n(n+2)}}}$$

Momentu magnetikoa

Spina duten partikulek momentu dipolar magnetikoa izan dezakete, elektrodinamika klasikoan elektrikoki kargatutako gorputz batek bezala. Momentu magnetiko hauek hainbat modutan ikus daitezke esperimentalki, adibidez, partikulak Stern-Gerlach esperimentu batean dauden eremu magnetiko ez-homogeneoen bidez desbideratuz, edo partikulek sortutako eremu magnetikoak neurtzuz, besteak beste.

1/2 spin, ${\displaystyle q}$ karga, ${\displaystyle m}$ masa eta ${\displaystyle {\textbf {S}}}$ spin momentu angeluarra dituen partikula baten momentu magnetiko intrintsekoa, ${\displaystyle \mu }$ , hurrengoa da^[12]:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g_{s}{\frac {q}{2m}}\mathbf {S} }$$

non ${\displaystyle g_{s}}$ faktore giromagnetikoa den.

Elektroiak, oinarrizko kargadun partikula denez, momentu magnetiko bat du. Elektroiaren faktoreari dagokionez, esperimentalki lortutako balioa ${\displaystyle -2.00231930436256}$ da. Elektrodinamika kuantikoaren teoriak elektroiaren faktorea zehaztu du.

Fermioiak eta bosoiak

Spin erdiosoak (hala nola; 1/2, 3/2, 5/2…) dituzten partikulei fermioiak esaten zaie (Enrico Fermi-ren ondoren). Spin osoa (0,1,2 …) duten partikulek, ordea, bosoiak dute izena (Jagadish Chandra Bose-ren ondoren). Bi partikula mota hauek arau desberdinak betetzen dituzte eta, oro har, rol desberdinak betetzen dituzte materiaren egituran.

Bi familia horien arteko funtsezko bereizketa bat da fermioiek Pauliren elkarrezintasunaren-printzipioa betetzen dutela. Printzipio honek adierazten duen moduan, ezin dira aldi berean zenbaki kuantiko guztiak berdinak dituzten bi fermioi egon. Bosoiek, ordea, ez dute horrelako murrizketarik; beraz, estatu berdinetan egon daitezke. Fermioiek Fermi-Dirac-en estatistikaren arauak betetzen dituzte. Bosoiek, aldiz, Bose-Einsteinen estatistika jarraitzen dute.

Partikula bereizezinen sistema arautzen duen uhin-funtzioa simetrikoa ala antisimetrikoa izan behar da.

${\displaystyle F(-x)=F(x)}$ funtzio simetrikoa

${\displaystyle F(-x)=-F(x)}$ funtzio antisimetrikoa

Bosoien kasuan, sistema osoaren uhin funtzioa simetrikoa izan behar da (partikulak lekuz aldatzean, funtzioa ez da aldatzen). Fermioien sisteman, ordea, antisimetrikoa (partikulak lekuz aldatzean, funtzioari ken signoa jar behar diogu).

Spina momentu angeluar orbitalaren trukatze-erlazio berdintsuak jarraitzen ditu:

${\displaystyle [{\hat {S_{x}}},{\hat {S_{y}}}]={\hat {S_{x}}}{\hat {S_{y}}}-{\hat {S_{y}}}{\hat {S_{x}}}=i\hbar {\hat {S_{z}}}}$

${\displaystyle [{\hat {S_{y}}},{\hat {S_{z}}}]=i\hbar {\hat {S_{x}}}}$

${\displaystyle [{\hat {S_{z}}},{\hat {S_{x}}}]=i\hbar {\hat {S_{y}}}}$

${\displaystyle {\hat {S_{z}}}}$ eta ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ eragileak trukakorrak direla erraz froga daiteke: ${\displaystyle [{\hat {S_{z}}},{\hat {S}}^{2}]=0}$

Ondorioz, bi eragileek autofuntzio base komuna dute. Dirac-en notazioan adierazita, autobalioak hurrengoak dira oinarri horretan:

${\displaystyle {\hat {S_{z}}}|m_{s},s\rangle =\hbar m_{s}|m_{s},s\rangle }$ , non ${\displaystyle s=0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}}}$ , ... eta

${\displaystyle {\hat {S}}^{2}|m_{s},s\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)|m_{s},s\rangle }$ , non ${\displaystyle m_{s}=-s,-s+1,{\text{...}},s-1,s}$ diren.

Autofuntzio berdinei ${\displaystyle {\hat {S_{\pm }}}={\hat {S_{+}}}\pm i{\hat {S_{-}}}}$ eragileak aplikatuz:

${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle }$

${\displaystyle s}$ balio finkoa izanik, momentu angeluar orbitalarekin baino askoz errezagoa izango da spinarekin lan egitea.

Pauliren matrizeak

Pauliren matrizeak mekanika kuantikoan oso erabiliak diren hiru matrize konplexu, hermitiar eta unitario dira, 2x2 dimentsiokoak. Besteak beste, egoera kuantikoak irudikatzeko, eragiketa kuantikoak ebazteko eta sistema kuantikoen portaera deskribatzeko erabiltzen dira.^[13] Haien izena Nobel saridun Wolfgang Pauli fisikari suitzarrarengandik hartu dute.

Matrizeak, ${\displaystyle \sigma _{x}}$ , ${\displaystyle \sigma _{y}}$ and ${\displaystyle \sigma _{z}}$ notazioa erabilita, hurrengoak dira: ^[14]

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$ , ${\displaystyle \sigma _{y}=i{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$ eta ${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{-1}\end{pmatrix}}}$ .

Pauliren matrizeen eta spinaren arteko erlazioa estua da. Spin zenbaki erdiosoa duen partikula baten kasuan, haren spin-egoerak bi dimentsioko bektore-espazio konplexu bat erabiliz irudika daitezke. Espazio horretan Pauliren matrizeek oinarri bat osatzen dutenez, partikula baten spin-egoerak Pauliren matrizeen konbinazio lineal gisa adieraz daitezke.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}}$ spin eragilea, spin erdiosoko partikulen kasuan, Pauliren matrizeen funtzio idatz daiteke^[15]:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$ , ${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}}$ osagai kartesiarrak dituenak.

Mekanika kuantikoaren zati zentrala da spin erdiko sistemen portaeraren azterketa, funtsezko partikula askok 1/2 spina baitute: protoiak, neutroiak, elektroiak, neutrinoak eta quarkak. Horiek guztiek s=1/2-ko zenbaki kuantikoa dute espinerako. Beraz, ${\displaystyle m_{s}}$ , definizioz, ${\displaystyle \pm }$ 1/2 balioak baino ezin ditu hartu, eta ${\displaystyle {\hat {S_{2}}}}$ eta ${\displaystyle {\hat {S_{z}}}}$ eragileak hala geratzen dira:

${\displaystyle {\hat {S}}^{2}=\hbar ^{2}s(s+1)=\hbar ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}+1\right)={\frac {3}{4}}\hbar ^{2}}$ eta ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}}$

${\displaystyle {\hat {S}}_{x}}$ eta ${\displaystyle {\hat {S}}_{y}}$ (eta, orokorrean, spin eragilearen beste osagaiak) lortzeko, baliagarriak izango ditugun ${\displaystyle {\hat {S}}_{+}}$ eta ${\displaystyle {\hat {S}}_{-}}$ eragileak definituko ditugu:

${\displaystyle {\hat {S}}_{+}=\hbar {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\hat {S}}_{-}=\hbar {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$ erlazioa betetzen dutenez:

${\displaystyle {\hat {S}}_{x}={\frac {{\hat {S}}_{+}+{\hat {S}}_{-}}{2}}={\frac {\hbar }{2}}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\right]={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}}$

eta

${\displaystyle {\hat {S}}_{y}={\frac {{\hat {S}}_{+}-{\hat {S}}_{-}}{2i}}={\frac {\hbar }{2i}}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\right]={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}}$

Oinarria eta spin bektorea

Spin erdia duen partikula baten egoera bi autofuntzioen konbinazio lineal gisa adieraz daiteke beti: spin-up edo ${\displaystyle |+\rangle }$ , eta spin-down edo ${\displaystyle |-\rangle }$ izenekoak.

Dirac-en formalismoan adierazita:

${\displaystyle |+\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\chi _{+}}$ eta ${\displaystyle |-\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\chi _{-}}$

Dagozkien bra-k ${\displaystyle \langle +|={\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}=\chi _{+}^{\dagger }}$ eta ${\displaystyle \langle -|={\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}=\chi _{-}^{\dagger }}$ izanik.

Orokorrean, ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ bektore jakin baten adierazpena:

${\displaystyle |\alpha \rangle =|+\rangle \langle +|\alpha \rangle +|-\rangle \langle -|\alpha \rangle ={\begin{pmatrix}\langle +|\alpha \rangle \\\langle -|\alpha \rangle \end{pmatrix}}}$ da, ${\displaystyle \langle \alpha |=\langle \alpha |+\rangle \langle +|+\langle \alpha |-\rangle \langle -|={\begin{pmatrix}\langle \alpha |+\rangle &\langle \alpha |-\rangle \end{pmatrix}}}$ dagokion bra izanik.

Kasu horretarako, spinorea honela defini dezakegu:

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\langle +|\alpha \rangle \\\langle -|\alpha \rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{+}\\c_{-}\end{pmatrix}}=c_{+}\chi _{+}+c_{-}\chi _{-}}$ da, ${\displaystyle \chi ^{\dagger }={\begin{pmatrix}\langle \alpha |+\rangle &\langle \alpha |-\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{+}^{*}&c_{-}^{*}\end{pmatrix}}}$ dagokion bra izanik.

Spin totala 2 fermioi konbinatzean

Spin erdiosoa duten bi partikulen konbinazioa aztertzeko, spin totala definitzen dugu:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\hat {\mathbf {S} }}_{1}+{\hat {\mathbf {S} }}_{2},}$

Spinaren adiziorako arauak jarraituz, ${\displaystyle S=0,1}$ balioak har ditzake. Sistema osoaren egoera ${\displaystyle \left|S,M_{S}\right\rangle }$ denez eta ${\displaystyle M_{S}=-S,-S+1,...,0,...,S-1,S}$ har ditzakeenez, lau konfigurazio agertzen dira:

${\displaystyle S=0}$ eta ${\displaystyle M_{S}=0}$ , detta singoletto, e tre con ${\displaystyle S=1}$ e componenti lungo l'asse ${\displaystyle z}$ rispettivamente ${\displaystyle M_{S}=-1,0,1}$ , dette tripletto. Il singoletto è caratterizzato da una funzione d'onda antisimmetrica e corrisponde allo stato:

${\displaystyle \left|0,0\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+,-\right\rangle -\left|-,+\right\rangle \right)}$ edo singletea, uhin funtzio antisimetrikoa duena.

${\displaystyle {\begin{cases}\left|1,1\right\rangle =\left|+,+\right\rangle \\\left|1,0\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+,-\right\rangle +\left|-,+\right\rangle \right)\\\left|1,-1\right\rangle =\left|-,-\right\rangle \\\end{cases}}}$ edo tripletea, uhin funtzio simetrikoak dituztenak

Spinak inplikazio teoriko eta aplikazio praktiko garrantzitsuak ditu. Haren zuzeneko aplikazioen artean, hauek dira:

• Erresonantzia magnetiko nuklearreko (NMR) espektroskopia, kimikan;
• Elektronien spin erresonantzia (ESR edo EPR) espektroskopia kimikan eta fisikan;
• Erresonantzia magnetikoaren irudia (MRI) medikuntzan, aplikatutako RMN mota bat, protoiaren spin-dentsitatean oinarritzen dena;
• Magneto-erresistentzia erraldoia (GMR) disko-buruaren teknologia disko gogor modernoetan.

Elektroien spinak paper garrantzitsua betetzen du magnetismoan; adibidez, ordenagailuen memorietan. Irrati-maiztasun uhinen bidezko spin nuklearraren manipulazioa (erresonantzia magnetiko nuklearra) garrantzitsua da espektroskopia kimikoan eta irudi medikoan.

Laserraren funtzionamendua spinaren propietateen beste aplikazio bat bezala ikus daiteke. Bosoien kasuan, bosoien sistema bat egoera kuantiko berean kokatzea behartu dezakegu. Hau da, laser baten funtzionamenduaren oinarrizko printzipioa, non fotoiak, spin osoko partikulak, egoera kuantiko berean antolatzen diren uhin-trenak fasean ekoizten dituztenak.

Spin propietate zehatzak aprobetxatzen dituen edo elektronikaren egungo gaitasunetatik haratago joateko spin indibidualak manipulatu nahi dituen teknologiaren erabilerari spintronika deritzo. Spinaren aplikazio berri bat spin transistoreetan informazio bitar eramailea izatea da. Jatorrizko kontzeptua, 1990ean proposatutakoa, Datta–Das spin transistore izenez ezagutzen da. ^[16] Material erdieroale magnetiko diluituetan spinaren manipulazioak, metalekin dopatutako ZnO edo TiO2, adibidez, askatasun maila gehiago ematen du eta elektronika eraginkorragoak fabrikatzeko aukera du. ^[17]

Etorkizuneko ordenagailu kuantikoetarako spinaren propietateak aprobetxatzeko aukera ere aztertzen ari da, zeinetan sistema isolatu baten spinak qubit edo bit kuantiko gisa balio dezake. Zentzu horretan, Michio Kaku fisikari teorikoak, Unibertso Paraleloak liburuan, atomoek beren spina gora, behera edo alborantz orientatuta nola izan dezaketen modu sinple eta informatiboan azaltzen du. Ordenagailuaren bitak (0 eta I) qubitekin (0 eta I arteko zerbait) ordezkatu litezke, ordenagailu kuantikoak tresna askoz indartsuagoak bihurtuz. Honek informatikaren oinarriak berritzeaz gain, silizioan oinarritutako egungo prozesadoreak ere gaindituko lituzke.

Spinaren eta lotutako Pauli bazterketa-printzipioaren zeharkako aplikazio eta agerpen ugari daude.