Poligon

Kata poligon berasal dari kata sifat Yunani, πολύς (polús), berarti "banyak", dan γωνία (gōnía), berarti "sudut". Akan tetapi, ada yang mengatakan bahwa kata Yunani γόνυ (gónu), berarti "kaki", dapat berawal dari kata gon.^[1]

Jumlah sisi

Poligon digolongkan berdasarkan jumlah sisinya. Lihat tabel di bawah.

Konveksitas dan non-konveksitas

Poligon dapat dicirikan berdasarkan jenis konveksitas (kecembungan) atau non-konveksitas:

• Poligon konveks atau cembung: sebarang garis yang ditarik melalui poligon (dan tidak menyinggung sisi atau titik sudut) akan bertemu ke batas poligon, tepatnya dua. Akibatnya, semua sudut dalam kurang dari 180°. Dengan kata lain, untuk sebarang ruas garis dengan titik akhir di batas poligon, hanya akan melewati titik dalam di sekitar titik akhir.
• Poligon non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan ketika bertemu ke batasnya lebih dari dua kali. Dengan kata lain, terdapat sebuah ruas garis di antara dua titik batas yang melalui poligon.
• Poligon sederhana: batas poligon tidak menyilang dirinya sendiri. Semua poligon cembung berbentuk sederhana.
• Poligon cekung: poligon yang non-cembung (tidak cembung) dan sederhana. Pada poligon ini, setidaknya ada satu buah sudut dalam yang lebih besar dari 180°.
• Poligon berbentuk bintang: seluruh titik dalam terlihat dan setidaknya ada satu buah, tanpa melewati sebarang sisi. Poligon harus berbentuk sederhana, serta dapat berbentuk cembung atau cekung. Selain itu, semua poligon cembung juga berbentuk bintang.
• Poligon tak berpotongan diri: batas poligon yang tidak memotong diri.
• Poligon bintang: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon ini tidak boleh berbentuk bintang.

Kesetaraan dan simetri

• Poligon sama sudut: semua sudut di titik sudut adalah sama.
• Poligon sama sisi: semua sisi memiliki panjang yang sama.
• Poligon beraturan: sebuah poligon berarti mempunyai sudut dan sisi yang sama.
• Poligon siklik: semua sudut yang terletak di sebuah lingkaran yang disebut lingkaran luar.
• Poligon singgung: semua sisi bersinggungan dengan lingkaran bertuliskan.
• Isogonal: semua sudut berada di dalam orbit simetri yang sama. Poligon ini juga berbentuk siklik dan mempunyai sisi yang sama.
• Isotoksal: semua sisi berada di dalam orbit simetri yang sama. Poligon ini juga merupakan poligon singgung dan mempunyai sisi yang sama.

Lain-lain

• Poligon rektilinear: sisi-sisi poligon bertemu di sudut siku-siku, dalam artian bahwa semua sudut dalam bernilai 90° atau 270°.
• Poligon monoton terhadap garis ${\displaystyle L}$ yang diketahui: setiap garis ortogonal ke ${\displaystyle L}$ memotong poligon setidaknya dua kali.

Sudut

Sebarang poligon memiliki banyak sudut yang sama dengan banyaknya sisi. Masing-masing sudut di poligon memiliki beberapa sudut. Dua sudut yang terpenting, di antaranya:

• Sudut dalam: Jumlah dari sudut dalam segi-${\displaystyle n}$ sederhana sama dengan ${\displaystyle (n-2)\times \pi }$ radian (atau dalam bentuk derajat, ${\displaystyle (n-2)\times 180^{\circ }}$ ). Ini dikarenakan sebarang segi-${\displaystyle n}$ sederhana (poligon yang memiliki ${\displaystyle n}$ sisi) dapat dipandang mempunyai ${\displaystyle n-2}$ segitiga, sehingga jumlah dari masing-masing sudut sama dengan π radian atau 180 derajat. Ukuran dari sebarang sudut dalam dari segi-${\displaystyle n}$ beraturan cembung bernilai ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi }$ radian atau ${\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}}$ derajat. Sudut dalam dari poligon bintang beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot. Pada makalah tersebut, Poinsot menjelaskan empat polihedron bintang beraturan sebagai berikut: untuk sebuah segi-${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ (sebuah segi-${\displaystyle p}$ dengan kepadatan pusat ${\displaystyle q}$ ), maka masing-masing sudut dalam bernilai ${\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}}$ radian atau ${\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}}$ derajat.^[2]
• Sudut luar: Sudut luar adalah suplemen dari sudut dalam. Ketika menggambar garis di suatu sisi segi-${\displaystyle n}$ cembung, maka sudut "berputar" ke suatu titik sudut yang merupakan sudut luar. Dengan menggambarnya di seluruh sisi poligon akan membentuk satu putaran penuh, sehingga jumlah sudut luar harus bernilai 360°. Argumen ini dapat diperumum untuk poligon sederhana cekung, jika sudut luar yang berputar ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Dengan menggambarkannya di keliling segi-${\displaystyle n}$ , maka jumlah dari sudut luar (dalam artian, jumlah total yang berputar di titik sudut) sama dengan kelipatan bilangan bulat ${\displaystyle d}$ dari 360°, sebagai contoh: 720° untuk pentagram dan 0° untuk antiparallelogram, dengan ${\displaystyle d}$ adalah densitas atau turning number dari poligon. Lihat pula orbit (dinamika).

Luas

Misalkan titik sudut dari poligon dinyatakan sebagai ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$ . Penggunaan notasi (x_n, y_n) = (x₀, y₀) juga akan dipakai.

Poligon sederhana

Jika poligon tidak berpotongan diri (atau dengan kata lain, poligon tersebut sederhana), maka luas bertanda dirumuskan sebagai

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})}$$

dengan ${\displaystyle x_{n}=x_{0}}$ dan ${\displaystyle y_{n}=y_{0}}$ . Luas dari poligon tersebut juga dapat menggunakan determinan

$${\displaystyle 16L^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$$

dengan ${\displaystyle Q_{i,j}}$ adalah jarak kuadrat di antara titik ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ dan ${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$ ^[3][4]

Luas bertanda bergantung pada orde dari titik sudut dan orde dari orientasi bidang. Secara umum, orientasi bernilai positif didefinisikan dengan memutar (ke lawan arah jarum jam) yang memetakan sumbu-${\displaystyle x}$ positif ke sumbu-${\displaystyle y}$ positif. Luas bertanda akan positif jika titik sudut diorde ke lawan arah jarum jam (dalam artian, berdasarkan orientasi bernilai positif), dan begitupula untuk kebalikannya, sehingga dengan demikian, rumus untuk luas poligon benar dalam nilai mutlak. Rumus ini umum dikenal sebagai rumus tali sepatu atau surveyor's formula (Indonesia: rumus surveyorcode: id is deprecated ).^[5]

Luas ${\displaystyle A}$ dari poligon sederhana juga dapat dihitung jika diketahui panjang sisi ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ dan sudut luar ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n}}$ , dari

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).}$$

Rumus ini dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.^[6]

Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik sudut adalah titik kisi, maka teorema Pick memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah titik kisi di dalam maupun di batas poligon, yang mengatakan: luas poligon sama dengan jumlah titik bilangan bulat di dalam poligon ditambah dengan setengah dari jumlah titik bilangan bulat di batas poligon, yang kemudian dikurangi 1.

Setiap poligon dengan keliling ${\displaystyle p}$ dan luas ${\displaystyle A}$ , berlaku pertidaksamaan isoperimetrik ${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$ .^[7]

Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, teorema Bolyai–Gerwien mengatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat disatukan kembali untuk membentuk poligon kedua.

Poligon beraturan

Terdapat banyak rumus khusus yang dipakai untuk luas poligon beraturan. Sebagai contoh, luas poligon beraturan dirumuskan dengan menggunakan jari-jari ${\displaystyle r}$ (atau lebih tepatnya, apotema) dari lingkaran dalam dan keliling poligon

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle R}$

$${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle s}$

${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}$$

Pusat massa

Dengan menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat titik sudut seperti di bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana padat dirumuskan sebagai

$${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$$

$${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$$

Pada kedua rumus tersebut, nilai bertanda dari luas ${\displaystyle A}$ harus digunakan.

Gagasan dari poligon diperumum melalui berbagai cara. Ada beberapa perumuman dari poligon yang lebih penting, di antaranya:

• Poligon bola adalah poligon yang mempunyai sirkuit dari busur lingkaran besar (yakni, sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan digon, poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua titik sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam kartografi (pembuatan peta) dan dalam konstruksi Wythoff dari polihedron seragam.
• Poligon pencong tidak terletak di bidang datar, melainkan di garis zigzag dalam dimensi tiga atau lebih. Poligon Petrie dari politop beraturan adalah contoh yang terkenal.
• Apeirogon adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut. Barisan tersebut tidak tertutup tetapi tidak punyai titik akhir, sebab barisan tersebut secara tak langsung memperluas ke dua arah.
• Apeirogon pencong adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut yang tidak terletak di sebuah bidang datar.
• Poligon kompleks adalah sebuah konfigurasi yang mirip seperti poligon biasa. Yang membedakannya adalah poligon ini berada di bidang kompleks dari dua dimensi bilangan real dan dua dimensi bilangan imajiner.
• Poligon abstrak adalah himpunan terurut parsial aljabar yang mewakili berbagai elemen (seperti sisi, titik sudut, dsb.) serta keterhubungannya. Sebuah poligon geometri real dikatakan sebagai realisasi dari poligon abstrak iring.
• Polihedron adalah benda padat dimensi tiga yang dibatasi oleh muka poligonal datar, mirip seperti poligon dalam dimensi dua yang dibatasi oleh sisi, Bentuk yang korespondensi dalam dimensi empat atau lebih disebut sebagai politop.^[10]

Kata poligon diambil dari bahasa Latin polygōnum, bahasa Yunani πολύγωνον (polygōnon/polugōnon, yang berarti "sudut banyak". Pemberian nama pada masing-masing poligon disesuaikan dengan jumlah sisi, dan gabungan dari awalan bilangan dalam bahasa Yunani dan akhiran -gon, sebagai contoh pentagon (mempunyai lima sisi), dodekagon (mempunyai dua belas sisi). Akan tetapi, terdapat pengecualian untuk penamaan tersebut seperti nonagon.

Penamaan ini juga dilakukan tanpa menggunakan kata serapan dari bahasa Latin maupun bahasa Yunani. Pemberian nama pada masing-masing poligon ditulis dari kata "segi-" dan jumlah sisi melalui angka. Sebagai contoh, segitiga (mempunyai tiga sisi), segi empat (mempunyai empat sisi).

Untuk bilangan yang lebih besar, matematikawan biasanya menulis dengan menggunakan notasi numerik, atau dalam artian menggunakan angka. Sebagai contoh, segi-17 (atau segi tujuh belas) dan segi-257.

Poligon yang mempunyai jumlah sisi yang lebih dari 20 dan kurang dari 100 dinamakan dengan menggunakan awalan kata nama.^[11] Kata "kai" dapat dipakai untuk segi-13 dan poligon yang lebih tinggi darinya. Penggunaan kata "kai" dipakai oleh Kepler, dan kemudian Conway memperkenalkan penggunaan kata tersebut untuk menjelaskan awalan bilangan yang digabungkan dalam penamaan polihedron kuasiberaturan.^[12] Meskipun demikian, banyak sumber yang tidak memakai kata tersebut.

Poligon telah lama dikenal sejak zaman dahulu. Poligon beraturan dipelajari orang Yunani kuno. Pentagram, sebuah poligon beraturan non-cembung (poligon bintang), ditemukan di krater Aristophonus, sebuah wadah yang ditemukan Caere, dan saat ini berada di Museum Capitolini.^[13][14]

Kajian tentang poligon non-cembung dimulai oleh Thomas Bradwardine yang hidup pada abad ke-14.^[15]

Pada tahun 1952, Geoffrey Colin Shephard memperumum gagasan tentang poligon bidang kompleks, dengan masing-masing dimensi real disertai dengan dimensi imaginer, untuk membangun poligon kompleks.^[16]