Ovaj članak govori o nejednakostima u matematici. Za druga značenja, pogledajte članak nejednakost (čvor).
Za članak o nejednakim iskazima, pogledajte članak Nejednačina.
U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti lil nisu (Također pogledajte: jednakost)
Oznaka a < b znači da je amanje odb.
Oznaka a > b znači da je aveće odb.
Oznaka a ≠ b znači da je anije jednako sab, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.
U svim ovim slučajevima, a nije jednakosa b, pa imamo, "nejednakost".
Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti
Oznaka a ≤ b znači da je amanje ili jednako sab (ili, ekvivalentno, ne veće odb);
Oznaka a ≥ b znači da je aveće ili jednako sab (ili, ekvivalentno, ne manje odb);
Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.
Oznaka a≪b znači da je amnogo manje odb.
Oznaka a≫b znači da je amnogo veće odb.
Ako je smisao nejednosti isti za sve vrijednosti varijabli za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva "apsolutnom" ili "bezuslovnom" nejednakosšću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrijednosti varijabli, ali je suprotna ili se poništava za druge vrijednosti tih varijabli, tada se to naziva "uslovna nejednakost".
Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti (< i >) zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).
Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredineuredi izvor
Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine
i geometrijske sredine
za i uređene n-torke pozitivnih brojeva i .
Teorem (AG nejednakost)
Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi . Jednakost se postiže ako i samo ako je .
Teorem (AG nejednakost za tri pozitivna broja).
Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi
Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredineuredi izvor
Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je
Dokaz
Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve , ... dobijamo
Jednakost vrijedi ako i samo ako je
Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredineuredi izvor
Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je
Dokaz
znamo
za
Izrazi na obe strane su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do
Ponekad sa oznakom "stepena nejednakost" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa ab, gdje su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.
Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:
Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN0-521-05206-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN0-394-01559-2.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
Murray S. Klamkin. ""Quickie" inequalities"(PDF). Math Strategies. Arhivirano s originala(PDF), 28. 1. 2004. Pristupljeno 18. 2. 2009.
Harold Shapiro (missingdate). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan. Provjerite vrijednost datuma u parametru: |date= (pomoć)