Energia kinetyczna

Dla ciała o masie ${\displaystyle m}$ i prędkości ${\displaystyle v}$ dużo mniejszej od prędkości światła w próżni (${\displaystyle v\ll c,}$ gdzie ${\displaystyle c}$ jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}.}$

Wzór ten można wyprowadzić ze wzorów na pracę i siłę^[3]:

${\displaystyle W=F\cdot s}$

${\displaystyle F=m\cdot a}$

${\displaystyle F=m\cdot {\frac {v_{k}-v_{p}}{t}}}$

${\displaystyle W=m\cdot {\frac {v_{k}-v_{p}}{t}}\cdot s}$

${\displaystyle W=m\cdot {\frac {v_{k}-v_{p}}{t}}\cdot {\frac {v_{p}+v_{k}}{2}}\cdot t}$

Gdy prędkość początkowa ${\displaystyle v_{p}=0,}$ wtedy:

${\displaystyle W=m\cdot {\frac {v_{k}}{t}}\cdot {\frac {v_{k}}{2}}\cdot t}$

${\displaystyle W=m\cdot {\frac {v_{k}^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}mv_{k}^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle W}$ – praca,

${\displaystyle F}$ – siła,

${\displaystyle a}$ – przyspieszenie,

${\displaystyle s}$ – droga,

${\displaystyle t}$ – czas,

${\displaystyle m}$ – masa,

${\displaystyle v_{p},}$ ${\displaystyle v_{k}}$ – prędkość początkowa i końcowa.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbb {\omega } {\hat {I}}\mathbb {\omega } ={\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j},}$

gdzie:

${\displaystyle \mathbb {\omega } }$ – prędkość kątowa,

${\displaystyle {\hat {I}}=(I_{ij})}$ – tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle I}$ – odpowiedni moment bezwładności,

${\displaystyle \mathbb {\omega } }$ – prędkość kątowa.

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła w próżni (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

${\displaystyle E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$

lub

${\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left(\gamma -1\right)}$

lub

${\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}-1\right).}$

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots }$

Zatem:

${\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots \right)={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}+\dots }$

Dla prędkości ${\displaystyle v}$ małych w porównaniu z prędkością światła w próżni ${\displaystyle (v\ll c)}$ można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

${\displaystyle E_{k}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}.}$

Zobacz też: operator energii całkowitej.

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej ${\displaystyle {\hat {T}}.}$ W ramach nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, operator energii kinetycznej dla cząstki o masie ${\displaystyle m}$ ma postać:

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.}$

gdzie ${\displaystyle {\hat {p}}}$ jest operatorem pędu^[4].

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji ${\displaystyle \epsilon _{k\nu }}$ ma postać

${\displaystyle {\hat {T}}=\sum _{\mathbf {k} \nu }\epsilon _{\mathbf {k} \nu }a_{\mathbf {k} \nu }^{\dagger }a_{\mathbf {k} \nu },}$

gdzie symbol ${\displaystyle \nu }$ może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. ${\displaystyle \nu =\{\sigma \}}$ dla spinu,lub ${\displaystyle \nu =\{\sigma ,n\}}$ dla spinu i pasma ${\displaystyle n}$ ).