Fibonači

Fibonači dzimis Itālijas pilsētā Pizā, iespējams, 12. gs. 70. gados (dažos avotos minēts 1180. gads). Viņa tēvs Giljermo bija tirgotājs. 1192. gadā viņš tika iecelts pārstāvēt Pizas tirdzniecības koloniju Ziemeļāfrikā un bieži viesojās Bendžajā, Alžīrijā. Pēc tēva vēlēšanās, kas gribēja, lai Leonardo kļūtu par labu pārdevēju, viņš pārcēlās uz Alžīriju un sāka mācīties tur matemātiku (skaitļošanas mākslu) pie arābu skolotājiem. Vēlāk Fibonači apmeklēja Ēģipti, Sīriju, Bizantiju, Sicīliju^[6].

1200. gadā Leonardo atgriezās Pizā un ķērā pie sava pirmā darba "Grāmata аbaka".^[6] Tajā laikā Eiropā par pozicionālo skaitļošanas sistēmu un arābu cipariem zināja ļoti maz. Savā grāmatā Fibonači visādi atbalstīja Indijas aprēķinu paņēmienus un metodes.^[7] Saskaņā ar matemātikas vēsturnieku A. P. Juškeviču, ""Abaka grāmata" augstu paceļas virs Eiropas aritmētiskās-algebriskās literatūras XII—XIV gadsimtu daudzveidību un metožu spēku, uzdevumu bagātību, utt. Turpmākie matemātiķi plaši smēla no tā, kā uzdevumus, kā arī to risināšanas paņēmienus". Pēc pirmās grāmatas Eiropā daudzas paaudzes matemātiķi sāka mācīties indiešu pozicionālo skaitļu sistēmas.^[7]

Grāmata ieinteresēja imperatoru Fridrihu II un viņa galmu, kuru vidū bija astrologs Mikaels Skots (Michael Scotus), filozofs Teodors Fiziks (Theodorus Physicus) un Dominiks Hispanus (Dominicus Hispanus). Pēdējais ierosināja, ka Leonardo ir jāaicina uz galmu vienā no vizītēm pie imperatora Pizas aptuveni 1225. gadā, kur viņam uzdevumus uzdeva Johans Palermo, vēl viens no Fridriha II galma filozofiem. Daži no šiem uzdevumiem parādījās turpmākajos Fibonači darbos^[5][8]. Pateicoties labai izglītībai, Leonardo izdevās pievērst sev uzmanību imperatora Fridriha II laikā matemātikas turnīros. Vēlāk Leonardo bija patronāžu imperators^[9].

Vairākus gadus Fibonači dzīvoja imperatora galmā. Šajā laikā tapa darbs "Kvadrātu grāmata", kas sarakstīta 1225. gadā. Grāmata veltīta otrās pakāpes diferencētajiem vienādojumiem un ievietoja Fibonači vienā rindā ar tādiem zinātniekiem kā Diofants un Ferma.^[8] Vienīgā norāde par Fibonači pēc 1228. gada attiecas uz 1240. gadu, kad viņam Pizas republikā ir piešķirta pensija par nopelniem pilsētas labā.^[5]

Ievērojamu daļu no savām zināšanām, viņš ielika savā "Grāmata аbaka" (Liber abaci, 1202. gadā; līdz mūsu dienām saglabājies tikai papildinātais manuskripts 1228. gadā)^[3]. Šī grāmata sastāv no 15 nodaļām un satur tā laika gandrīz visas aritmētiskās darbības un algebrisko informāciju, kas izklāstīti ar izņēmumu pilnību un dziļumu. Pirmās piecas nodaļas veltītas grāmatā veselo skaitļu aritmētikai, kas balstīta uz decimālo numerāciju. VI un VII nodaļā Leonardo izklāsta darbības ar parastām frakcijām. VIII—X nodaļās izklāstīti paņēmieni atrisinātu problēmas komerciālajā aritmētikā, pamatojoties uz proporcijām. XI nodaļā apskatīti uzdevumi par sajaukšanos. XII nodaļā ir apkopoti uzdevumi summēšanā — aritmētiskā un ģeometriskā progresija, vairāku kvadrātu, un, pirmo reizi matemātikas vēsturē, atgriešanās virkni, nodrošinot konsekvenci tā sauktajiem Fibonači skaitļiem. XIII nodaļā izklāstīti noteikumi diviem aplamiem vienādojumiem un dažādi citi uzdevumi, kuri darbināmi ar lineāro vienādojumu. XIV nodaļā Leonardo uz skaitliskiem piemēriem skaidro veidus kā aptuveni iegūt kvadrātiskās un kubiskās saknes. Visbeidzot, XV nodaļā komplektēti vairāki uzdevumi, piemēram, Pitagora teorēma un liels skaits piemēru uz kvadrātveida vienādojumiem. Leonardo pirmo reizi Eiropā, izmantoja negatīvos skaitļus, ko uztvēra, kā parādus^[7]. Grāmata veltīta Мikaelam Skotam^[5].

Cita grāmata Fibonači, "Praktiskā ģeometrija" (Practica geometriae, 1220 gads), sastāv no septiņām daļām un satur daudzveidīgus teorēmu pierādījumus, kas attiecas uz mērīšanas metodēm. Kopā ar klasiskajiem rezultātiem Fibonači izved to pašu — piemēram, pirmais pierādījums, ka trīs trijstūra mediānas krustojas vienā punktā (Arhimēdam šis fakts bija zināms, bet viņa pierādījums, ja pastāvējis, līdz mums nav nonācis). Attāluma mērniecības metodes, kurām veltīta pēdējā grāmata sadaļa — izmantot noteiktā veidā izmērāmu kvadrātu, lai noteiktu attālumu un augstumu. Lai noteiktu skaitli π Fibonači izmanto perimetru ierakstot un aprakstot ar 96 locekļiem, kas noved viņu pie vērtības 3,1418^[7] . Grāmata bija veltīta Domenikas Hispanusam^[5]. 1915. gadā R. S. Arčibalds nodarbojās ar Eiklīda pazudušā darba atjaunošanu par dalījumu formās, balstoties uz Fibonači "Praktisko ģeometriju" un franču tulkojumu no arābu versijas. Traktātā "Zieds" (Flos, 1225 gads) Fibonači izpētīja kubisko vienādojumu ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}+10x=20}$ , ko viņam piedāvāja Jonass Palermo matemātikas konkursā imperatora Fridriha II galmā. Pats Jonass Palermo gandrīz noteikti ir aizņēmies vienādojumus no Omara Haijma traktāta "Par pierādījumu uzdevumiem algebrā", kur tas ir dots kā piemērs, viens no veidiem, kubisko vienādojumu klasifikācijā. Leonardo pētot šo vienādojumu, parādīja, ka to saknes nevar būt racionāls skaitlis vai arī būt līdzīgs kvadrātiskai iracionalitātei, kas radušās X grāmatā Eiklīda Elementi, bet pēc tam atrod aptuveno saknes vērtību^[5].

Paliekot uzticīgs matemātikas turnīriem, galveno lomu savās grāmatās Fibonači velta problēmām, to risinājumiem un komentāriem. Uzdevumus turnīrā Fibonači piedāvāja saviem pretiniekiem. Fibonači uzdevumus, kā to analogus, turpināja izmantot dažādās matemātikas mācību grāmatās vairākus gadsimtus. Tos var sastapt "Summu aritmētiskais" Pacioli (1494), "Aritmētika" Маginskova (1703), "Algebra" Eilera (1768).

Grāmatā Liber Abaci (1202) Fibonači ieviesa tā saukto modus Indorum (Indiāņu metode), kas šodien pazīstama kā Indiešu–arābu ciparu sistēma.^[10][11] Šī grāmata atbalstīja numerāciju ar cipariem 0-9 un vietu vērtību. Grāmatā parādīja praktisko pielietojumu un vērtības jaunajā Indiešu-arābu ciparu sistēmā , izmantojot ciparus tirdzniecībā, pārveidojot tos svariem un mēriem, procentu aprēķināšanai, naudas maiņai, gan citām programmām. Grāmata bija labi pieņemta visā izglītotajā Eiropā un dziļi ietekmēja eiropiešu domas. Nekādas kopijas 1202 izdevumiem nav zināmas, ka pastāv.

1228. gada izdevums pirmajā daļā iepazīstina ar Indiešu-arābu ciparu sistēmu un salīdzina sistēmu ar citām sistēmām, piemēram, ar Romiešu cipariem, un metodes, lai pārvērstu citu ciparu sistēmas uz Indiešu-arābu cipariem. Aizstāt Romiešu ciparu sistēmu, tās seno Ēģiptiešu reizināšanas metodi. ^[12][13]

Otrajā sadaļā tiek paskaidrota Indiešu-arābu ciparu lietošana, biznesā, piemēram, pārveidojot dažādās valūtās, un aprēķinot peļņu un procentus, kas radīja būtisku pieaugumu banku nozarē. Grāmatā arī aplūkoti iracionāli skaitļi un pirmskaitļi.^[14]

Liber Abaci formulēja un atrisināja problēmu par trušu populācijas pieaugumu, izmantojot idealizētus pieņēmumus. Risinājums, paaudze pēc paaudzes, bija skaitļu virkne, vēlāk pazīstama kā Fibonači skaitļi. Fibonači grāmata Liber Abaci satur senākos aprēķinu aprakstus ārpus Indijas. Indijā šī virkne bijusi pazīstama jau kopš sestā gadsimta.^{[15][16][17][18]}

Fibonači virknē katrs nākamais skaitlis ir divu iepriekšējo skaitļu summa. Fibonači nesāka secību ar 0, 1, kā mūsdienu matemātiķi to darītu, bet gan ar 1, 1. Viņš veica aprēķinus līdz trīspadsmitajam skaitlim (četrpadsmitajam pēc mūsdienu skaitīšanas): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Citā avotā viņš aprēķinājis ar četrpadsmito skaitli 377.^[19][20] Fibonači nerunāja par zelta griezumu kā secīgu skaitļu attiecības robežu..

Viņš ir sarakstījis vairākas grāmatas:

• "Grāmata аbaka" (Liber abaci), 1202. gads, papildināts ar 1228.;
• "Praktiskā ģeometrija" (Practica geometriae), 1220. gadā;
• "Puķe" (Flos) 1225 gadā;
• "Grāmata kvadrātu" (Liber quadratorum), 1225. gadā;
• Di mazās guisa, nozaudēta;
• Komentāri grāmatā X "Sāka" Eiklidu, nozaudēta;
• Vēstule Теоdoram, 1225. gadā.

• Fibonači skaitļi

• Щетников A. I. rekonstrukcija iteratīvu metodi, kā risināt kubisko vienādojumu viduslaiku matemātiku. Proc trešo Колмогоровских lasījumu. Jaroslavļu: Ed-ЯГПУ, 2005, s. 332-340.
• Glushkov S. On approximation methods of Leonardo Fibonači. Historia Mathematica, 3, 1976, p. 291-296.
• Sigler, L. E. Fibonacci's Liber Abaci, Leonardo Pisano's Book of Calculations" Springer. New York, 2002, ISBN 0-387-40737-5.