Pi

Ohatry ny efa ela ny mpanao matematika no efa nanomboka nikajy ny mpanohatra mitovy sanda anelanelan'ny refi-paribolana sy ny savaivon'ny boribory, sy ny valaran'ny kapila sy ny tanany. Amina tablety anoratan'ny babilonianina, ny fikajian'ny babilonianina dia manome π = 3+1/8. Mampiseho kajy manome sandana 3 ho an'ny π ilay tablety. Arahan'ny tablety iray hafa manome anton-javatra manitsy 1/(57/60+36/3600).

Ny fanakaikezana voalohany dia π : 3

Ny fanakaikezana faharoa dia : ${\displaystyle 3\times {\frac {1}{57/60+36/3600}}=3\times {\frac {25}{24}}=3+{\frac {1}{8}}=3,125}$

Hita tamin'ny 1855, ny papyrus-n'i Rhind dia misy ilay lahatsoratrana bokim-praoblema pedagôjika mbola antitra nadikan'i mpanoratra Ahmes tamin'ny -1650. Ao amin'ilay papyrus, hita ny fomba ahitana ny velaran'ny kapila amin'ny alalan'ny fakàna efa-joro manana lafy mitovy refy amin'ny efa-miran'ny savaivon'ny boribory nahena 1/9. Io fomba fikajiana io dia manome π = 256⁄81.

Fanakekezana hafa :${\displaystyle \pi ={\frac {A}{r^{2}}}={\frac {64}{(9/2)^{2}}}={\frac {256}{81}}\approx 3,1605}$

${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$ refi-paribolana × tana =${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}\pi \times d\times r=\pi r^{2}}$

Tany amin'ny Archimède, tao amin'ny traité De la mesure du cercle isika no nahita fampisehoana mampifandray ny velaran'ny kapila sy ny velaran'ny telo-joro manana fototra refim-paribolan'ilay boribory ary manana halava ny tànany.

Fahitana ny desimaly

Amin'ny fikajiana, afaka mifaly amin'ny sanda π = 3,14 isika, te-hikaroka lalina ny mpanao matematika amin'ny fahitana ny tena sandan'ny π. Tamin'ny taonjato faha telo, i Liu Hui, mpanadiadin'ny Toko Sivy dia manolotra kajy mampifandray ny refi-paribolana sy ny savaivo, mamelatra fikajiana mitovy endrika amin'i Archimède izy fa mbola tonga lalindalina kokoa nohon'izy tamin'ny valiny ; nanome π = 3,1416 i Liu Hui. Ilay mpanao matematika Zu Chonzhi indray dia nanome fanakekezana π ≈ 355/113 (manome π ≈ 3,1415929 kanefa ny tena sandan'ny π dia 3,1415926 ; tapitra amin'ny desimaly faha enin'ny π io mpampielana io)

Any Persa tamin'ny 1429, i Al-Kashi dia nahita desimaly 14 an'i π. Tamin'ny 1596, amin'ny alalan'ny fomba jeometrika, ilay mpanao matematika alemana Ludolph van Ceulen dia nikajy desimaly 20, ary 34 tamin'ny 1609. Nirehareha tamin'ny zava-bitany izy ka nanontany ho soratana eo amin'ny fasany ny isa π miaraka amin'ny desimaly 34 hitany.

Tamin'ny fivoaran'ny fandinihana tamin'ny taonjato faha 17, indrindra miaraka amin'ny fitambarana tsy mifarana, mihahaingana ny fikajiana ny desimalin'ny Pi

Nahita ny raikipohy manaraka i James Gregory (1638 - 1675)

${\displaystyle \arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}=...=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}}$

Ny raikipohy mampiasa ny asa arctan dia efa natolotr'i Madhava de Sangamagrama, mpanao matematika Indianina (1350-1425), tsipihany ny tranga manokana π/4=arctan(1) sy π/6=arctan(1/√3).

${\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...\right)=4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$

${\displaystyle \pi ={\frac {6}{\sqrt {3}}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+...\right)={\frac {6}{\sqrt {3}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)\cdot 3^{k}}}}$

Tsotra dia tsotra ny tandahatra voalohany fa tsy ilaina izy amin'ny fikajianan'ny Pi. Ny halalin'ny fikajiana dia 1/(2n+1), dikan'izany, ilaina mikajy isa miditra 500 izy mba hahazo diso eo amin'ny desimaly faha telo. Ny faharoa kosa, dia manome fomba fikajiana tsaratsara kokoa nohon'ny fomban' Archimède. Afaka nikajy desimaly 10-n'ny pi i Madhava. Nikajy desimaly 71-n'ny pi i Sharp tamin'ny 1699 tamin'izy nampiasa io fomba io.

I Isaac Newton dia nikajy desimaly 16-n'ny pi tamin'ny 1665, tamin'ny alalan'ny rohitra famelabelaranan'ny π/6=arcsin 1/2.

Tamin'ny 1706, nampiasa ary nanatsara ny rohitra famelabelaranan'i Gregory i John Machin, ary nanorina raikophy mitondra ny anarany izy.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

ary nikajy desimaly 100^[1].

Tamin'ny 1760, nikajy desimaly 20n'ny pi i Euler anatin'ny adin-dray (ampitaho amin'ny desimaly 30 azon'i Van Ceulen voakajiny afaka 10 taona). Ny Mpanao matematika slovena Jurij Vega dia nikajy 140 desimaly tamin'ny 1789, ary 137 no marina tamin'ireo desimaly ireo. Nahatana 50 taona io record io. Natsarainy ny rikipohin'i John Machin. i William Shanks, mpanao matematika dia nikajy ny desimalin'ny pi mandritry ny roapolo taona. Tamin'ny 1873, tamin'ny alalan'ny raikipohin'i Machin, nanolotra desimaly 707-n'ny pi i W. Shanks, fa tamin'ilay 707 natolony, 528 fotsiny no marina. Tamin'ny exposition Universelle-n'i Paris tamin'ny 1937, voasoratra tao amin'ny Palais de la Découverte ilay desimaly 707. Hita tamin'ny 1945 ilay desimaly diso ary efa voatsara hatr'izay.

Nihahainga kokoa ny fahitana ny desimalin'ny Pi tamin'ny taonjato faha roapolo tamin'ny fisian'nyinformatika : desimaly 2037 no hitan'n solosaina amerikana ENIAC tamin'ny 1949, 10 000 no hita tamin'ny 1958, iray hetsy tamin'ny 1961, iray tapitrisa tamin'ny 1973, 10 tapitrisa tamin'ny 1982, 100 tapitrisa tamin'ny ary 1 lavitrisa tamin'ny 1989. Tamin'ny 2002, desimaly 1 241 100 000 000 ny isan'ny desimaly fantatra.

Voakajy tamin'ny algoritiman'i Gauss-Legendre sy ny algoritman'i Borwein ny fanakekezana ny pi.

Ny algoritman'i Salamin-Brent, manome desimaly be dia be noforonina tamin'ny 1976, dia miankina amin'ny valiny tsapan'i Gauss. Tamin'ny 1818, nanome fifandraisana anelanelan'ny anivo aritmetikojeometrikan'i 1 sy √2 (M(1,√2)) izy, ny halavan'ny lemniskatin'i Bernoulli sy pi. Ny halavan'ny lemniskaty dia ${\displaystyle L=2\varpi r}$ , ny r dia ny elanelan'ny OA amin'ny tampony sy ny tampon'ny lemniskaty ary ${\displaystyle \varpi }$ ny tsimiovan'ilay lemniskaty. Raha soratana G, ny tsimiovan'i Gauss, midika ny mifamadik'i M(1,√2) :

${\displaystyle \varpi =\pi G}$

Ny mpanao matematika amerikana sy aostralianina Eugène Salamin sy i Richard Brent dia nampiasa io valiny io ho an'ny algoritma manome desimalin'ny ny π manana fifanojoana kadratika, dikan'izany dia akiroa ny isan'ny desimaly fantatra isaky ny dingana. Miara-mandroso ny fahitana ny desimalin'ny √2 sy ny desimalin'ny π.

Afaka herena ny desimaly 1 tapitrisa ny π sy 1/π eo amin'ny tetikasa Gutenberg (jereo ny rohy ivelany).

Ny record ankehitriny dia desimaly 1 241 100 000 000, hitan'ny mpikajin'i Hitachi tamin'ny 2002 afaka 600 ora mahery, ilay mpikajin'ny Hitachi dia manana tahirina 1 teraoktety, afaka mikajy fanaovana 2 000 lavitrisa isa-tsegondra, indoan'ny record taloha (desimaly 206 lavitrisa) ; ny raikipohin'i Machin no nampiasaina tamin'io :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ (K. Takano, 1982)

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24:\arctan {\frac {1}{12943}}}$ (F. C. W. Störmer, 1896)

Ngeza ireo fanakekezana ireo, azy tsy misy tena ilaina azy raha tsy hoe anandrana ny solosaina.

Mbola am-pandinihana ny fomba sy algôritma hafa ohatra ny fampiasana iraizotra ny solosaina ampitohy eo amin'ny fanaparitahana Internet.

Eo akaikin'ireo fikarohana ireo, misy algôritma hafa apetraka mba tonga dia hikajy ny desimaly faha n avy hatrany. Tamin'ny 1995, i David Bailey, miara-miasa amin'i Peter Borwein sy i Simon Plouffe dia nahita raikipohy vaovaon'i pi, rohitra tenenina hoe raikipohy BBP)

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$

Afaka kajiana amin'io raikipohy io ny desimal roa fototra na 16-fototra π faha n, tsy ilaina amin'izany no mikajy ny desimaly nanaraka. Ny tranonkalan'i Bailey dia manana ny sintona sy ny fanamboarana anatina tenin-drindrankajy maro. Avy amin'ny raikipohy voasinton'ny raikipohy BBP, ny desimaly faha 4 000 000 000 000 000n'ny pi dia hita amin'ny fototra 2 tamin'ny 2001.

Herin-taonatety aoriana, i Simon Plouffe dia nanao algôritma afahana mikajy ny desimaly faha n an'ny pi, fa amin'ny fototra desimaly. Fa io algoritma ahitana ny desimalin'ny pi io dia miadana kokoa nohon'ny fomba fikajiana desimaly naseho taloha.

Jeômetria

Anaty raikipohy jeometrika ny isa Pi, indrindra amin'ny boribory sy ny bola.

Endrika Jeômetrika	Raikipohy
Refi-paribolan'ny boribory maanana tana r sy savaivo d	${\displaystyle C=2\pi r=\pi d\,\!}$
velaran'ny kapila manana tana r	${\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!}$
Velaran'ny elipsa manana teza a sy b	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
Hadiry ny bola manana tana r	${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi d^{3}}{6}}\,\!}$
Velaran'ny bola manana tana r	${\displaystyle A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}\,\!}$
Hadiry ny varingarina manana haabo h sy tana r	${\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!}$
Velaran'ny varingarina manana haabo h sy tana r	${\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!}$
Hadiry ny sondry manana haabo h sy tana r	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!}$
Velaran'ny sondry manana haabo h et de rayon r	${\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!}$

Ny velaran'ny varingarina faritana amin'ny bola mitovy haabo dia mitovy (tsy rarahina ny foton'ny varingarina).

Ao amin'ny fikajiana velarana sy hadiry ny pi. Ny refin'ny zoro 180° dia π radian.

Amin'ny jeômetria tsy eoklidianina, ny tontalin'ny zoron'ny telojoro dia mety mihoatra na latsaky ny pi, mety samihafa amin'ny pi koa ny rapport amin'ny refi-paribolana amin'ny savaivony.

Mitadidy π

Ny fomba itadidiana ny desilamin'ny pi dia io tononkalo^[2] io, ny teny iray dia desimaly iray, ny isa misy amin'ilay desimaly dia fantatra rehefa isaina ny isan'ny litera misy anatin'ilay teny. Ny teny manana litera folo dia « 0 » ny tena sandany.

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

Immortel Archimède, artiste, ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Jadis, mystérieux, un problème bloquait

Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez

Défié Pythagore et ses imitateurs.

Comment intégrer l’espace plan circulaire ?

Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira

Dedans un hexagone ; appréciera son aire

Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :

Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l’orbe calculée^[3] approchera ;

Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle

Professeur, enseignez son problème avec zèle

Tamin'ny 2005, nitanisa desimalin'ny pi 83 431 afaka adin'ny 13 i Akira Haraguchi, olom-pirenena japoney 59 taona. 100 000 desimaly (afaka 16 ora) no voatanisany herintaona teo aoriana. Voasoratra ao amin'ny Guinness Book ny record io exploit io.

Pi sy kolontsain'ny daholobe

Raha isan-tontolo (« nombre univers ») ny pi, mahagaga ihany ny fahitana anatin'ny pi ny sekansana isa azo atao. I Jean-Paul Delahaye dia milaza fa ny fitambaran'ny desimalin'ny 20 voalohany dia manome 100 ; i Robert Gold, mpanao gematria dia nilaza fa hitany tamin'ny fikajiana sarotra fa ao anatin'ny pi ny teny famaha ny Baiboly^[4].

Bestaka ny tranonkala na boky milaza momban'ny fisian'ny isa pi anatin'ny rirakitso, pi ny mpanohatry ny manodidon'ny fototra sy ny indroan'ny haabon'ny rirakitso^[5].

Marina fa ny rirakitson'i Kheops manana firaikana 14/11, ary, noho izany, mpanohatra anelanelan'ny manodidona sy ny indroan'ny haabon'ny rirakitson'i Kheops dia tsy manalavitry ny pi.

• Andron'ny pi

Bibliôgrafia

• Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - (ISBN 2-9029-1825-9)
• Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, Paris, 1999 - (ISBN 2705614435)
• Jörg Arndt & Christoph Haenel : À la poursuite de π, Éditions Vuibert, 2006 - (ISBN 2-7117-7170-9)

Rohy ivelany

Miteny frantsay

• ((fr)) La preuve par Lambert de l’irrationalité de π (1761), commentée sur le site BibNum
• ((fr)) Nombreuses informations historiques et mathématiques sur pi dans pi314.net
• ((en)) Site permettant une recherche de chiffres dans les 200 000 000 premières décimales
• ((en)) Le site Wolfram Mathematics compile de nombreuses formules pour π

Tsiahy