Pi

${\displaystyle \pi }$ har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

Babylonerne	ca. 2000 f. Kr.	3,125
Egypterne	ca. 2000 f. Kr.	3,160 45
Salomo	ca. 950 f. Kr.	3[3][4]
Arkimedes	ca. 250 f. Kr.	3,141 8 (223/71 < ${\displaystyle \pi }$ < 22/7)
Liu Xin	ca. 5 f. Kr.	3,125 (25/8)
Zu Chongzhi	ca. 480 e. Kr.	3,141 592 920 (355/113)
Otho	1573	3,141 592 9
Viete	1593	3,141 592 653 6
Ludolph van Ceulen	ca. 1600	3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 – 35 desimaler med lignende metoder som Arkimedes.
William Shanks	1873	Han brukte 707 desimalplasser, men han gjorde en feil ved den 528. desimalplassen slik at resten ble feil.
John von Neumann m.fl.	1949	2037 desimaler, brukte den tidlige datamaskinen ENIAC, kjøringen tok 70 timer.
Guilloud og Bouyer	1973	1 001 250 desimaler.
Kanada og Tamura	1989	1 073 741 799 desimaler.
Yasumasa Kanada	2004	1 241 100 000 000 desimaler ved hjelp av en PC.
Fabrice Bellard Alexander Yee Shigeru Kondo	2009 2013	2 699 999 990 000 desimaler. 12 100 000 000 050 desimaler.
Emma Haruka Iwao/Google	2019	31 415 926 535 897 desimaler.

Den tysk-nederlandske matematikkprofessoren Ludolph van Ceulen brukte store deler av sitt liv på å kalkulere 35 desimaler. De ble inngravert på hans gravstein i Leiden i Nederland i 1610.

I 1761 beviste Johann Heinrich Lambert at ${\displaystyle \pi }$ er irrasjonalt tall. Transcendensen til tallet ble bevist i 1882 av Ferdinand von Lindemann.

Behovet for nøyaktighet av ${\displaystyle \pi }$

Siden ${\displaystyle \pi }$ er et irrasjonalt tall er det ikke grenser for hvor nøyaktig man kan beregne ${\displaystyle \pi }$ , men er det egentlig nødvendig? – NASA bruker i sine baneberegninger for interplanetære reiser 16 signifikante sifre.^[5] Det viser seg at 39 signifikante siffer er tilstrekkelig til å beregne de fleste kosmologiske konstanter, siden du da kan beregne omkretsen av universet med en nøyaktighet på ett atom.^[6] Hvis man tar hensyn til avrundingsfeil vil noen få hundre siffer være nok til alle tenkelige vitenskapelige formål.^[7][8][9] π er nok er matematikkens mest kjente konstant som historisk har vært vanskelig å beregne med høy presisjon, men det har også visse praktiske fordeler, slik som at beregningsalgoritmer for ${\displaystyle \pi }$ brukes til å teste superdatamaskiner, testing av numeriske algoritmer og i ren matematikk der man trenger data for å evaluere forutsigbarheten i ${\displaystyle \pi }$ .^[10]

Algoritmer for beregning av ${\displaystyle \pi }$

Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt (trenger 152 trinn før det beregnede tallet kan avrundes til 3,14) og som ofte blir kalt Leibniz' formel er

${\displaystyle {\pi \over 4}=\sum _{k=0}^{\infty }{{(-1)^{k}} \over {2k+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots }$

eller som en tilnærming

${\displaystyle \pi \approx 3,141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 238\ 462\ 643\ 383\ 279\ 502\ 884\ 197\ 169\ 399\ 375\ 105\ 820\ 974\ 944\ 592\ 307\ 816\ 406}$

I det ovenstående er ${\displaystyle \pi }$ angitt til 72 desimaler.

I begynnelsen av 1900-tallet fant den unge matematikeren Srinivasa Aiyangar Ramanujan fra India mange nye formler for ${\displaystyle \pi }$ . Noen var forbløffende korte og elegante, dype og raskt konvergerende etter få trinn.^[11] Spesielt denne er berømt:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!}$

Der ${\displaystyle k!}$ er fakultet av ${\displaystyle k}$ ; dvs. ${\displaystyle 0!=1}$ , ${\displaystyle 1!=1}$ , ${\displaystyle 2!=2\times 1}$ , ${\displaystyle 3!=3\times 2\times 1}$ , ${\displaystyle 4!=4\times 3\times 2\times 1}$ , osv.

Første iterasjon med ${\displaystyle k=0}$ gir 6 desimalers nøyaktighet, andre gir 14 desimaler, tredje gir 22 desimaler …

Et annet eksempel på en formel for ${\displaystyle \pi }$ som ikke konvergerer særlig raskt er denne:

${\displaystyle \pi =\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {8{\sqrt {km-k^{2}}}}{m^{2}}}}$

Geometri

${\displaystyle \pi }$ forekommer i mange geometriske formler for sirkler, sfærer og andre runde objekter.

	Geometrisk form	Formel
	Omkretsen av en sirkel med radius ${\displaystyle r}$ og diameter ${\displaystyle d}$	${\displaystyle O=\pi d=2\pi r\,\!}$
	Arealet av en sirkel med radien ${\displaystyle r}$	${\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!}$
	Arealet av en ellipse med halvaksene ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
	Volumet av en sfære (kule) med radius ${\displaystyle r}$ og diameter ${\displaystyle d}$	${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}\,\!}$
	Overflatearealet av en sfære med radius ${\displaystyle r}$	${\displaystyle A=4\pi r^{2}\,\!}$
	Volumet av en sylinder med høyde ${\displaystyle h}$ og radius ${\displaystyle r}$	${\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!}$
	Overflatearealet av en sylinder med høyde ${\displaystyle h}$ og radius ${\displaystyle r}$	${\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!}$
	Volumet av en kjegle med høyde ${\displaystyle h}$ og radius ${\displaystyle r}$	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!}$
	Overflatearealet av en kjegle med høyde ${\displaystyle h}$ og radius ${\displaystyle r}$	${\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!}$

Analyse

Tallet ${\displaystyle \pi }$ er tett forbundet med de komplekse tallene, noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i Eulers formel for den komplekse eksponentialfunksjonen,

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,}$

Et spesialtilfelle er Eulers likhet,

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,}$

som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av Richard Feynman fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene: ${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle e}$ som er basisen for de naturlige logaritmene, den imaginære enheten ${\displaystyle i}$ som de komplekse tallene defineres ut fra og ${\displaystyle \pi }$ . Videre følger for eksempel av residysatsen for kurveintegraler at

${\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi \over 4}}$

Øvrig matematikk

• En integralformel, (se normalfordeling):

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$

• Baselproblemet, først løst av Euler (se også Riemanns zeta-funksjon):

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

Generelt er ${\displaystyle \zeta (2n)}$ et rasjonelt multiplum av ${\displaystyle \pi ^{2n}}$ for det positive heltallet ${\displaystyle n}$ .

• Gammafunksjonen utregnet ved ½:

${\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}$

• Stirlings formel:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

• Egenskapen av Eulers phi-funksjon (se også Fareysekvens):

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}}$

• ${\displaystyle 22/7=3{,}14285714285714...}$ 2 desimalers nøyaktighet, er en av de Diofantiske approksimasjoner
• ${\displaystyle 355/113=3{,}14159292035398...}$ 6 desimalers nøyaktighet, funnet av en den kinesiske matematiker og astronom Zu Chongzhi rundt år 450 e.kr. Det tok ca 1000 år å finne den neste rasjonelle approksimasjonen med flere desimaler ${\displaystyle 86953/27678}$ .
• ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2143/22}}=3{,}1415926525...}$ 8 desimalers nøyaktighet, en av mange approksimasjoner funnet av Srinivasa Ramanujan

I 1897 var kongressen i delstaten Indiana, i USA, i ferd med å vedta en lov som bl.a. kunne tolkes som en avrunding av ${\displaystyle \pi }$ til 3,2 i stedet for 3,14.^[12] Kongressen ble dog stoppet av en professor som tilfeldigvis var til stede før det endelige vedtaket.^[12]

Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk ${\displaystyle \pi }$ , som var nøyaktig 3,125.^[13]

• utregning av størrelsen på fallskjermen som er nødvendig til å lande en rover på Mars^[14]
• utregning av hvor mange rektangulære kamerabilder er nødvendig for å kartlegge overflaten av en planet^[14]
• få et romskip til å bremse til akkurat riktig tid når det skal gå inn i den fastlagte banen rund en planet^[14]

1. Tidsangivelsen kan være omstridt, det er her tatt utgangspunkt i tidsangivelsen slik den fremkommer i Nevi'im og ikke når Nevi'im er skrevet ned.

• David Blatner: The Joy of Pi, Walker & Company (1997), ISBN 0-8027-1332-7.
• I 1998 debuterte Darren Arnofsky med en film med navnet pi som handlet om en matematiker som arbeidet med nettopp tallet ${\displaystyle \pi }$ .

• (no) Norsk side om ${\displaystyle \pi }$
• (en) ${\displaystyle \pi }$ med fire millioner desimaler
• (en) Pi-memory