圓周率

• 1579年Viete：${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$
• 1650年John Wallis：${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }$
• 1671年Gregory Jame、1673年Leibniz：${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$
• 1706年Machin：${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$
• 18世纪欧拉：${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$
• 1995年贝利－波尔温－普劳夫公式：${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$ （不同于别样表示法，隻公式好计算任意位数个小数，好甭先计算前头个位数。）

古人最初估計圓周率为 3，之所謂「周三徑一」。後來有人發現有理數 22/7 可以當做圓周率个近似值，叫做約率。中國南北朝數學家祖沖之發現有理數 355/113 （3.1415929203539823008849557522124）更加接近，箇咾叫做密率。

日本个數學家三上義夫為仔記念伊个成就，提議將该只近似值叫做祖率。對於一般个應用里向，3.14 或約率 22/7 已經足夠，但是工程學总是利用 3.1416（5位有效數字）或 3.14159（6位有效數字）。至於密率 355/113 就是一個易於記憶（“一一三三五五”）、精確至 7 位有效數字个分數，外加张景中证明佢是分母不超过16586个辰光顶准确个分数（再精确点个是52163/16604）。

微積分搭仔無窮數列出现，数学家以此作笔算。1424年，求得小数点後十六位。1596年到1610年，荷兰数学家鲁道夫·范·柯伊伦从廿位小数算到三十五位，德国人讴圆周率“鲁道夫数”。1706年，英国数学家威廉·琼斯首先用π（<希腊语περίμετρος“周长”）表示圆周率（正式推开要等欧拉用到《解析学》里）。1789年，得小數点後一百四十位；1873年，謝克斯以十五年个辰光，算得此小數点後七百五十三位。

電算機发明后，勒1949年，溤諾曼以七十小時辰光算得小數点後二千零三十七位。1985年，数学家以拉馬努金算式求得小數点後千萬位。1989年，求得小數点後十億位。2002年，得小數点後一萬億位。

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