พาย (ค่าคงตัว)

เรขาคณิต

π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม

รูปร่างทางเรขาคณิต	สูตร
เส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d	${\displaystyle C=\pi d=2\pi r\,\!}$
พื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี r	${\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!}$
พื้นที่ของวงรีที่มีแกนเอก a และแกนโท b	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d	${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}\,\!}$
พื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี r	${\displaystyle A=4\pi r^{2}\,\!}$
ปริมาตรของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r	${\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!}$
พื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r	${\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!}$
ปริมาตรของกรวยที่สูง h และรัศมี r	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!}$
พื้นที่ผิวของกรวยที่สูง h และรัศมี r	${\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!}$

การวิเคราะห์

• François Viète, 1593:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots }$

• สูตรของไลบ์นิซ:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}}$

• ผลคูณของ Wallis:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n)^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}}$

• สูตรปริพันธ์จากแคลคูลัส:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$

• ปัญหาของBasel, ถูกแก้เป็นครั้งแรกโดย ออยเลอร์ (ดูเพิ่มเติม ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์):

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

• ฟังก์ชันแกมมา เมื่อหาค่า 1/2:

${\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}$

• สูตรของสเตอร์ลิง:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

• เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (เรียกโดย ริชาร์ด ไฟน์แมน):

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}$

เศษส่วนต่อเนื่อง

π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}}$

ทฤษฎีจำนวน

• ความน่าจะเป็นในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา 2 จำนวน แล้วเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เท่ากับ 6/π² ...

ฟิสิกส์

• หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก:

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$

• สมการสนามของไอน์สไตน์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป:

${\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}$

• กฎของคูลอมบ์ สำหรับแรงไฟฟ้า:

${\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}}$

การอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ

แม้ว่า π จะไม่เป็นค่าคงตัวทางฟิสิกส์ แต่ก็มีปรากฏในสมการที่ใช้อธิบายเกี่ยวกับหลักการพื้นฐานของจักรวาลอยู่บ่อยครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ของ π กับวงกลม และระบบพิกัดทรงกลม จากสูตรง่าย ๆ จากกลศาสตร์ดั้งเดิม เช่น ให้ระยะเวลาโดยประมาณเป็น T ของลูกตุ้มที่มีความยาว L แกว่งด้วยแอมพลิจูดขนาดเล็ก (g คือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก)^[1]

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

หนึ่งในสูตรสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนแบร์ก ซึ่งแสดงให้เห็นความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งของอนุภาค (Δx) และโมเมนตัม (Δp) ซึ่งไม่สามารถมีขนาดเล็กโดยปราศจากเหตุผลในเวลาเดียวกันได้ (เมื่อ h เป็นค่าคงตัวของพลังค์)^[2]

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$

ความจริงที่ว่า π มีค่าประมาณเท่ากับ 3 นั้น มีบทบาทในอายุการใช้งานที่ยาวนานของออร์โธโพสิโทรเนียม ซึ่งอายุการใช้งานนั้นจะผกผันไปสู่ลำดับต่ำสุดในค่าคงที่โครงสร้างละเอียด α คือ^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6},}$

เมื่อ m คือมวลของอิเล็กตรอน

• แคลคูลัส
• เรขาคณิต
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ