Пи саны

Трансцендентлык һәм иррациональлек

• ${\displaystyle \pi }$ — иррациональ сан, ягъни ул төгәл итеп m һәм n бөтен сан булган m/n вакланмасы рәвешендә күрсәтелә ала алмый. Башкача әйткәндә, аның унарлы күрсәтелеше беркайчан да тәмамланмый һәм периодик түгел.
• ${\displaystyle \pi }$ — трансцендент сан, ягъни ул берәр бөтен коэффициентлы күпбуынның тамыры була алмый дигән сүз.

Нисбәтләр

${\displaystyle \pi }$ саны белән бәйләнешле күпсанлы формулалар бар. Шулардан кайберләре:

• Франсуа Виет, 1593:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }$

• Валлис формуласы:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

• Лейбниц рәте:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

• Эйлер бердәйлеге:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}$

• «Пуассон интегралы» яки «Гаусс интегралы»

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}$

• Интеграль синус:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi }$

Пи санының вакланмалы өтердән соң биш санына кадәр төгәллек белән истә калдыру өчен мнемоник гыйбарә

Пи санының вакланмалы өтердән соң биш санына кадәр төгәллек белән истә калдыру өчен (ягъни 3,14159... санын), мәсәлән, шундый мнемоник гыйбарәне кулланылырга мөмкин. Биредә сүздә хәрефләр саны билгеле санга ишарә итә (беренче санның 3 икәнен истә тотып):

Син, и бала, и укучы, ирешерсең...

Яки тагын да төгәлрәк итеп (ягъни 3,1415926535... санын)

Син, и бала, и укучы, ирешерсең,
Бу сүздән мәңге сан белеп...