மீளும் தசமங்கள்

ஒரு விகிதமுறு எண்ணை தசமவடிவிற்கு மாற்றுவதற்கு நெடுமுறை வகுத்தல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு: 5/74

           .  .        0.0675   74 ) 5.00000        4.44          560          518           420           370            500

ஒவ்வொரு படிநிலையிலும் 56, 42, 50 என மீதி கிடைத்துள்ளது. மீதி 50 கிடைத்த நிலையில் பூச்சியத்தைக் கீழிறக்க, மீண்டும் கணக்கு 500 ஐ 74 ஆல் வகுப்பதாகிறது. எனவே 5/74 இன் தசம வடிவில் 675 என்ற தொகுப்பு மீளும் எண்கூட்டமாக அமையும்.

5/74 =  0.0675 675 675 ….

தரப்பட்ட ஒரு மீளும் தசமத்தை அதன் மூல பின்னமாக மாற்றலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1:

பாகுபடுத்தல் தோல்வி (அறியப்படாத செயற்பாடு): {\displaystyle \begin{alignat}2 x &= 0.333333\ldots\\ 10x &= 3.333333\ldots&\quad&\text{(multiplying each side of the above line by 10)}\\ 9x &= 3 &&\text{(subtracting the 1st line from the 2nd)}\\ x &= 3/9 = 1/3 &&\text{(reducing to lowest terms)}\\ \end{alignat}}

எடுத்துக்காட்டு 2:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.836363636\ldots \\10x&=8.3636363636\ldots {\text{(multiplying by a power of 10 to move decimal to start of repetition)}}\\1000x&=836.36363636\ldots {\text{(multiplying by a power of 100 to move decimal to end of first repeating decimal)}}\\990x&=836.36363636\ldots -8.36363636\ldots =828{\text{ (subtracting to clear decimals)}}\\x&={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{aligned}}}$

சுருக்கு வழி

ஒரு மீளும் தசமத்தின் n இலக்கங்கள் கொண்ட மீளும் எண்கூட்டம், இறுதி இலக்கத்தை 1 ஆகவும் மற்ற இலக்கங்களைப் பூச்சியமாகவும் கொண்டிருந்தால் கீழ்வரும் சுருக்குவழியைப் பயன்படுத்தி அம்மீளும் தசமத்தை பின்னவடிவிற்கு மாற்றலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1:

n = 7

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\(10^{7}-1)x=9999999x&=1\\x&={1 \over 10^{7}-1}={1 \over 9999999}\end{aligned}}}$

எனவே இவ்விதமான மீளும் தசமங்களின் பின்னவடிவைக் கணக்கிடாமலேயே,

1/(10ⁿ − 1) = 1/99999...n இலக்கங்கள் என எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\times 2}{9\times 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\times 73+10\times 2}{10\times 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

தசம புள்ளிக்கு அடுத்ததாக n காலமுறை நீளமுடைய மீளும் எண்கூட்டம் கொண்ட மீளும் தசமத்தின் பின்னவடிவின் பொது வாய்ப்பாடு:

x = 0.(A₁A₂…A_n)

10ⁿx = A₁A₂…A_n.(A₁A₂…A_n)

(10ⁿ − 1)x = 99…99x = A₁A₂ … A_n

x = A₁A₂…A_n/(10ⁿ − 1)

= A₁A₂…A_n/99…99

மீளும் தசமத்தின் மதிப்பு 0 - 1 ஆகவும் மீளும் எண்கூட்டத்தின் நீளம் n இலக்கங்களாகவும், மீளும் எண்கூட்டம் தசம புள்ளிக்கு அடுத்தும் இருந்தால், அம்மீளும் தசமத்தின் பின்னவடிவின் தொகுதி மீளும் எண்கூட்டத்தில் இலக்கங்களால் ஆனதாகவும் பகுதி 9 ஆல் ஆன n இலக்க எண்ணாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 0.444444… = 4/9 (மீளும் எண்கூட்டம் 4 ஓரிலக்க எண்)
• 0.565656... = 56/99 (மீளும் எண்கூட்டம் 56 ஈரிலக்க எண்)
• 0.012012… = 12/999 = 4/333 (மீளும் எண்கூட்டம் 012 மூவிலக்க எண்)
• 0.9999999… = 9/9 = 1, (மீளும் எண்கூட்டம் 9 ஓரிலக்க எண்)

மீளும் தசமத்தின் மதிப்பு 0 - 1 ஆகவும் மீளும் எண்கூட்டத்தின் நீளம் n இலக்கங்களாகவும், மீளும் எண்கூட்டத்துக்கும் தசம புள்ளிக்கும் இடையே k இலக்க எண்ணிக்கையில் 0 அமைந்திருக்குமானால், அம்மீளும் தசமத்தின் பின்னவடிவின் தொகுதி மீளும் எண்கூட்டத்தில் இலக்கங்களால் ஆனதாகவும் பகுதி 9 ஆல் ஆன n இலக்க எண்ணுடன் k இலக்க எண்ணிக்கையில் பூச்சியங்களைச் சேர்த்துக்கொள்ள வேண்டும்.

• 0.000444… = 4/9000
• 0.005656… = 56/9900
• 0.00012012… = 12/99900 = 2/16650

மேற்கூறிய வடிவிலமையாத ஒரு மீளும் தசமத்தை முடிவுறு தசமம் மற்றும் மீளும் தசமத்தின் கூடுதலாக எழுதிக்கொண்ட பின்னர் அதனை பின்னவடிவிற்கு மாற்றலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900

(அல்லது)

1.23444… = 0.79 + 0.44444… = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900

• 0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665

(அல்லது)

0.3789789… = −0.6 + 0.9789789… = −6/10 + 978/999 = −5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

ஒரு மீளும் தசமத்தை முடிவுறாத் தொடராக எழுதலாம். அதாவது ஒரு மீளும் தசமத்தை முடிவுறா எண்ணைக்கையிலான விகிதமுறா எண்களின் கூட்டலாக எழுதலாம்.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}={1 \over 10}+{1 \over 100}+{1 \over 1000}+\cdots =0.{\overline {1}}}$

இது ஒரு பெருக்குத் தொடர். முதல் உறுப்பு a = 1/10; பொதுவிகிதம் r = 1/10. மேலும் பொதுவிகிதத்தின் தனி மதிப்பு < 1. எனவே இம்முடிவுறா பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை:

${\displaystyle \ {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{9}}=0.{\overline {1}}}$

2 அல்லது 5 தவிர்த்த (10 இன் சார்பகா முழுஎண்கள் தவிர்த்த) மற்ற பகாஎண்களைப் பகுதியாகக் கொண்ட சுருக்கவியலாப் பின்னம் எப்பொழுதும் ஒரு மீளும் தசமத்தைத் தரும். 1/p இன் காலமுறை நீளம் k ஆனது மாடுலோ p இன் கீழ் 10 இன் பெருக்கல் வரிசையாக இருக்கும் (10^k ≡ 1 (சமானம், மாடுலோ p)). p இன் ஏது மூலம் 10 எனில் மீளும் எண்கூட்டத்தின் நீளம் p − 1 ஆகவும், p இன் ஏது மூலமாக 10 இல்லையெனில் பெர்மாவின் சிறிய தேற்ற முடிவின்படி, மீளும் எண்கூட்டத்தின் நீளம் p − 1 இன் காரணியாக இருக்கும்.

பத்தடிமானத்தில் 5 ஐ விடப் பெரியதான எந்தவொரு பகாஎண்ணின் பெருக்கல் தலைகீழியின் மீளும் தசமத்தின் மீளும் எண்கூட்டம் 9 ஆல் வகுபடும்.^[4]

பகாஎண் p இன் தலைகீழி 1/p இன் மீளும் தசமத்தின் காலமுறை நீளம் p − 1 எனில், முழுஎண்ணாக எழுதப்படும் அதன் மீளும் எண்கூட்டம் சுழல் எண் எனப்படும்.

சுழல் எண்கள்

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 1/7 = 0.142857, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 6
• 1/17 = 0.05882352 94117647, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை16
• 1/19 = 0.052631578 947368421, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 18
• 1/23 = 0.04347826086 95652173913, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 22
• 1/29 = 0.03448275862068 96551724137931, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 28
• 1/47 = 0.02127659574468085106382 97872340425531914893617, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 46
• 1/59 = 0.01694915254237288135593220338 98305084745762711864406779661, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 58
• 1/61 = 0.016393442622950819672131147540 983606557377049180327868852459, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 60
• 1/97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432 989690721649484536082474226804123711340206185567, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 96

இப்பட்டியலை நீட்டித்து 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193,... பின்னங்களையும் சேர்க்கலாம் (OEIS-இல் வரிசை A001913).

ஒரு சுழல் எண்ணின் தகு மடங்கும் ஒரு சுழற்சியாகும்.

• 1/7 = 1 × 0.142857… = 0.142857…
• 2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…
• 3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…
• 4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…
• 5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…
• 6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…

¹⁄₇ இன் நீள்வகுத்தலின் மூலம் சுழல்தன்மையின் காரணத்தை அறிந்து கொள்ளலாம். இவ்வகுத்தலில் மீளும் மீதங்கள்: {1, 3, 2, 6, 4, 5}.

ஏனையப் பகாஎண்களின் தலைகீழிகள்

சுழலெண்களைப் பிறப்பிக்காத பகாஎண் தலைகீழிகள்:

• 1/3 = 0.3, காலமுறை நீளம் 1 இலக்கம்.
• 1/11 = 0.09, காலமுறை நீளம் 2 இலக்கம்.
• 1/13 = 0.076923, காலமுறை நீளம் 6 இலக்கம்
• 1/31 = 0.032258064516129, காலமுறை நீளம் 15 இலக்கம்.
• 1/37 = 0.027, காலமுறை நீளம் 3 இலக்கம்.
• 1/41 = 0.02439, காலமுறை நீளம் 5 இலக்கம்.
• 1/43 = 0.023255813953488372093, காலமுறை நீளம் 21 இலக்கம்.
• 1/53 = 0.0188679245283, காலமுறை நீளம் 13 இலக்கம்.
• 1/67 = 0.014925373134328358208955223880597, காலமுறை நீளம் 33 இலக்கம்.

(OEIS-இல் வரிசை A006559)

1/n இன் காலமுறை நீளம்

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (OEIS-இல் வரிசை A051626)

1/n இன் மீளும் பகுதி

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (OEIS-இல் வரிசை A036275)

1/(nவது பகாஎண்) இன் காலமுறை நீளம்

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (OEIS-இல் வரிசை A002371)