Рамнокрак трапез

Правоаголниците и квадратите обично се сметаат за специјални случаи на рамнокраки трапези иако некои извори не ги вклучуваат.^[2]

Друг специјален случај е трапез со 3 еднакви страни, понекогаш познат како трилатерален трапез^[3].Тие, исто така, може да се расчленети од правилни многуаголници од 5 или повеќе страни како скратување на 4 секвенцијални темиња.

Самопресеци

Секој четириаголник што не се вкрстува со точно една оска на симетрија мора да биде или рамнокрак трапез или делтоид.^[4] Меѓутоа, ако се дозволени вкрстувања, множеството на симетрични четириаголници мора да се прошири за да ги вклучи и вкрстените рамнокраки трапези, вкрстените четириаголници во кои вкрстените страни се со еднаква должина, а другите страни се паралелни, и антипаралелограмите, вкрстени четириаголници во кои спротивните страни имаат еднаква должина.

Секој антипаралелограм има рамнокрак трапез како конвексна обвивка, и може да се формира од дијагоналите и непаралелните страни (или кој било пар спротивни страни во случај на правоаголник) на рамнокрак трапез.^[5]

Ако се знае дека четириаголникот е трапез, не е доволно само да се провери дали краците имаат иста должина за да се знае дека е рамнокрак трапез, бидејќи ромбот е посебен случај на трапез со краци со еднаква должина, но не е рамнокрак трапез бидејќи му недостига линија на симетрија низ средните точки на спротивните страни.

Кое било од следниве својства го разликува рамнокракиот трапез од другите трапези:

• Дијагоналите имаат иста должина.
• Аглите при основите се еднакви.
• Отсечката што ги спојува средните точки на паралелните страни е нормална на нив.
• Спротивните агли се суплементни, што пак имплицира дека рамнокракните трапези се циклични четириаголници.
• Дијагоналите се делат една со друга на сегменти со должини кои се еднакви во парови; во однос на сликата подолу, AE = DE, BE = CE (и AE ≠ CE ако се исклучат правоаголниците).

Во рамнокрак трапез, аглите на основите се еднакви во пар. На сликата подолу, аглите ∠ ABC и ∠ DCB се еднакви тапи агли, додека аглите ∠ BAD и ∠ CDA се остри агли, исто така еднакви.

Бидејќи отсечките AD и BC се паралелни, аглите до спротивните основи се суплементни, односно аглите ∠ABC + ∠BAD = 180°.

Дијагоналите на рамнокрак трапез имаат иста должина; односно секој рамнокрак трапез е еквидијагонален четириаголник. Покрај тоа, дијагоналите се делат едни со други во ист сооднос. Како што е прикажано, дијагоналите AC и BD имаат иста должина (AC = BD) и се делат една со друга на сегменти со иста должина (AE = DE и BE = CE).

Односот на кој е поделена секоја дијагонала е еднаков на односот на должините на паралелните страни што ги сечат, т.е.

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}$

Должината на секоја дијагонала, според теоремата на Птоломеј, е дадена со

${\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}}$

каде што a и b се должините на паралелните страни AD и BC, а c е должината на секој крак AB и CD.

Висината е, според Питагоровата теорема, дадена со

${\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}$

Растојанието од точката Е до основата АД е дадено со

${\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}}$

каде што a и b се должините на паралелните страни AD и BC, а h е висината на трапезот.

Плоштината на рамнокрак (или кој било) трапез е еднаква на просекот на должините на основите (паралелните страни) помножен со висината. На соседниот дијаграм, ако напишеме AD = a, и BC = b, а висината h е должината на отсечка помеѓу AD и BC што е нормална на нив, тогаш плоштината K е дадена на следниов начин:

${\displaystyle K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).}$

ако наместо висината на трапезот, се знае заедничката должина на краците AB = CD = c, тогаш плоштината може да се пресмета со помош на Брамагуптината формула за плоштина на цикличен четириаголник, која со еднакви две страни се поедноставува

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}$

-каде ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}$ е полупериметарот на трапезот. Оваа формула е аналогна на Хероновата формула за пресметување на плоштина на триаголник. Претходната формула за површина може да се напише и како

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}$

Полупречникот на опишана кржуница е даден со ^[6]

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}$

Во правоаголник каде a = b ова е поедноставено до ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$ .

• Some engineering formulas involving isosceles trapezoids