Стерадијан

Стерадијанот може да се дефинира како просторниот агол што завршува во средиштето на единична топка со единична плоштина на површината. За општа топка со полупречник r, секој дел од нејзината површина со плоштина A = r² опфаќа еден стерадијан.^[1]

Бидејќи A = r², тоа значи дека соодветствува со плоштината на калота (A = 2πrh) (каде h е „висина“ на калотата), а и важи односот h/r = 1/(2π). Затоа еден стерадијан соодветствува на плоснатиот (радијански) агол на пресекот на прост конус што опфаќа агол на рамнината од 2θ, со θ и е се добива:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)\\&=\arccos \left(1-{\frac {h}{r}}\right)\\&=\arccos \left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right)\approx 0{,}572\,{\text{rad}}{\mbox{ = }}32{,}77^{\circ }\end{aligned}}}$

Овој агол соодветствува на аголот на отвор во рамнина од 2θ ≈ 1,144 rad или 65,54°.

Бидејќи површината на топката е 4πr², дефиницијата подразбира дека топката има 4π ≈ 12,56637 стерадијани. Од истата причина, максималниот просторен агол што заршува во некоја точка изнесува 4π sr. Стерадијанот може да се нарече и квадратен радијан („радијан на квадрат“).

Еден радијан е еднаков и на сферната површина на многуаголник со аголен одвишок од 1 радијан, на 1/(4π) за целосна топка или на (180/π)² ≈ 3282,80635 квадратни степени.

Просторниот агол (во стерадијани) што го опфаќа гореспоменатиот конус (чиј напречен пресек го опфаќа радијанскиот агол 2θ) се добива вака:

${\displaystyle \Omega =2\pi (1-\cos \theta ).\quad }$

Во две димензии, аголот во радијани е поврзан со должината на лакот што ја отсекува:

${\displaystyle \theta ={\frac {l}{r}}\,}$

каде

l е должината на лакот, а

r е полупречник на кружницата.

Во три димензии, просторниот агол во стерадијани е поврзан со плоштината што ја отсекува:

${\displaystyle \Omega ={\frac {S}{r^{2}}}\,}$

каде

S е плоштината, а

r е полупречник на топката.

Стерадијанот има максимална вредност од 4π ≈ 12,56637, па затоа оваа единица не користи поголеми содржатели. Меѓутоа овие содржатели напати се среќаваат при изразување на величини што ги покрива просторниот агол, како на пример: